Технология многомерных баз данных. Моментные функция случайных процессов
Страницы 513-523
Многомерные процессы
До сих пор мы рассматривали модели, которые состоят только из одного соотношения, связывающего временные ряды. При этом мы выбирали одну из переменных в качестве эндогенной, а остальные переменные являлись экзогенными. Такое разделение не всегда является естественным, часто приходится рассматривать одновременно несколько соотношений, в которые одни и те же переменные входят и как эндогенные, и как экзогенные. Как видно из прошлой лекции, переменная не всегда может рассматриваться как экзогенная, и мы фактически должны рассматривать модель DGP, состоящую из нескольких уравнений. Это означает моделирование нескольких временных рядов одновременно, другими словами - моделирование многомерного случайного процесса.
Начнем с определении. Рассмотрим вектор =(х t 1 ,х t 2 ,...,х t k) T , каждая компонента которого является временным рядом. верхним индексом будем обозначать номер компоненты, а нижним по-прежнему - момент времени. распределение компонент характеризуется семейством совместных плотностей распределения вида: f n (х t1 i1 ,х t2 i2 ,..., х tn in )‚ n=1‚2,.... Условием стационарности в узком смысле по-прежнему является независимость от сдвига во времени всего семейства совместных плотностей распределения. Только теперь кроме всевозможных комбинаций значений случайного процесса в различные моменты времени аргументами плотностей вероятности также являются всевозможные комбинации различных компонент в различные моменты времени. Например, для двухмерной плотности получаем из условия стационарности: f 2 (х t 1 ,х t 2 ) = f 2 (х 1 t + r , х 2 t + r ) для любого τ. Совместное распределение компонент для одного и того же момента времени не зависит от времени. Рассмотрим другую функцию распределения, например трехмерную, в которую входят значения первой компоненты в два разных момента времени и второй компоненты в некоторый третий момент времени. Стационарность означает, чтоf 3 (х t 1 ,х t + h 1 ,х t + s 2 ) = f 3 (х 1 t + τ , х 2 t + s + τ ) . Можно сказать, что это свойство инвариантности к сдвигу во времени. То есть, если к каждому моменту времени прибавить величину τ, то функция плотности не изменится. Понятно, что стационарность многомерного процесса влечет за собой стационарность каждой из его компонент.
Как и в одномерном случае, стационарность в узком
смысле влечет за собой ряд свойств характеристик случайных процессов. Прежде
всего, начнем с математического ожидания. Математическое ожидание для каждой
компоненты не зависит от других компонент. Поэтому если многомерный процесс
стационарен, математическое ожидание каждой компоненты не зависит от времени.
Вектор математических ожиданий E(
не зависит от
времени.
Теперь рассмотрим моменты второго порядка. Каждая компонента характеризуется дисперсией и автокорреляционной функцией. Если одномерный ряд стационарен, его автокорреляционная и автоковариационная функции зависят только от сдвига τ: Corr(τ) = Corr(х t i ,х j t + r ) = р i (τ), однако теперь можно рассмотреть второй смешанный момент для различных компонент, а также Corr(х t i ,х j t + r ). Такую величину естественно назвать кросс-корреляционной функцией. Если компоненты образуют многомерный стационарный процесс, то кросс-корреляция будет функцией сдвига во времени τ. Обозначим эту функцию R ij (τ) . Довольно очевидно, что R ij (τ) = R ji (- τ) . При фиксированном значении τ элементы R ij (τ) образуют матрицу R, зависящую от τ. Значению τ, равному нулю, соответствует корреляционная матрица вектора
© 2005 г. А. И. Саичев*, С. Г. Уткин*
ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ ОТ АНОМАЛЬНОЙ К ЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ
Рассматриваются многомерные процессы "квазианомальных" случайных блужданий, имеющие линейно-диффузионную асимптотику на больших временах и подчиняющиеся аномально-диффузионным закономерностям на промежуточных (также достаточно больших относительно микроскопических масштабов) временах. Демонстрируется переход скачкообразного процесса от аномальной к линейной диффузии. С помощью численного счета подтверждается справедливость аналитических расчетов для двумерного и трехмерного случаев. , .....
Ключевые слова: аномальная субдиффузия, аномальная супердиффузия, уравнения в частных дробных производных, промежутоная асимптотика, квазианомальные случайные блуждания.
1. ВВЕДЕНИЕ
Главным признаком аномальной диффузии служит нелинейный рост среднего квадрата случайного процесса со временем: >г: V» „
характерный, например, для таких физических явлений, как турбулентная диффузия , хаотическая динамика гамильтоновых систем , , перенос заряда в аморфных полупроводниках и др. Динамика подобных явлений адекватно моделируется скачкообразными случайными процессами с теми или иными распределениями / (г) интервалов между скачками и распределениями w(x) величины скачков.
Известно также, что аномальная диффузия возникает из-за нарушения центральной предельной теоремы (ЦПТ) или закона больших чисел (ЗБЧ) (см., например, ). В свою очередь, неприменимость ЗБЧ обусловлена бесконечностью первых моментов времени ожидания скачков, а нарушение ЦПТ связано с бесконечностью вторых моментов скачков. Эти обстоятельства служат объектом критики теории аномальной диффузии со стороны физиков, справедливо замечающих, что для большинства физических явлений указанные моменты ограничены.
"Нижегородский государственный университет, Нижний Новгород, Россия. E-mail: [email protected]; [email protected]
Цена 18 ^уб. Переплет 1 р.
456 А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН;
Целью данной работы является демонстрация того факта, что аномальная субдиффузия может возникать и в "классическом случае", когда ЗБЧ и ЦПТ справедливы. А именно, наряду с детально исследованными "чисто" аномальными диффузионными процессами существуют и "квазианомальные" случайные процессы, подчиняющиеся законам линейной диффузии на очень больших временах и пространственных масштабах, а на "промежуточных" временах демонстрирующие универсальные аномально-диффузионные асимптотики. Данная работа посвящена анализу именно таких квазианомальных случайных процессов в пространствах разной размерности. Обнаружено, в частности, что, в отличие от классической многомерной диффузии, случайные координаты аномально-диффузионного скачкообразного процесса статистически зависимы даже при независимых компонентах векторов случайных скачков.
2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ
Рассмотрим типичный процесс случайных блужданий, подчиняющийся простейшему стохастическому уравнению чч-.
*-----. < к 1
Без ограничения общности предположим, что случайные интервалы ожидания скачков т~к = tk - ifc-i и сами случайные скачки hk взаимно независимы, а также имеют одинаковые распределения /(т) и w(x), соответственно. Очевидно, что
где N(t) - число скачков к моменту t. Это функция, обратная времени n-го скачка Т(п):
t = T(n) = ] " "
Используя очевидное соотношение эквивалентности для этих функций ~ !! N(t)^n T{n) и разбиение единицы - м. .„ >».. л ■ >. 1= ^IIn(z) = ^, z>0, "У ■ где x(z) - функция ступеньки, выведем уравнение для характеристической функции рассматриваемого процесса X (f): ©(«; t) = (¿»ХМ) = £ /ехр (ш £ hk) V п=0 ^ ^ fc=1 " " Цена 18 дуб. Переплет Í р. ■го) аномальная субдиф-и ЦПТ справедливы. А ми диффузионными про-л, подчиняющиеся зако-анственных масштабах, ьные аномально-диффу-но таких квазианомаль-1. Обнаружено, в част-I, случайные координа-гически зависимы даже шяющиися простеише- 1лы ожидания скачков а также имеют одина-) 1ени п-го скачка Т(п): г > О, ^ " ической функции рас- ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ. .. Применим к обеим частям равенства преобразование Лапласа и просуммируем полученную геометрическую прогрессию: Найденное выражение для лаплас-образа 0(u; s) характеристической функции представляет собой многомерный аналог уравнения Монтролла-Вейсса . Здесь f(s) -лаплас-образ распределения интервалов между скачками, a w(u) - характеристическая функция скачков. Из последнего равенства видно, что Q(u; s) подчиняется уравнению 0(u;s) - w(u)Q(u;s) = ........... ÎM (2-2) Применив к нему обратные преобразования Фурье и Лапласа, легко получить (в зависимости от вида распределений /(г) и w(x)) как классическое уравнение Колмогоро-ва-Феллера, так и кинетические уравнения аномальной диффузии. 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БЛУЖДАНИЙ X(t) Как уже было отмечено выше, вид уравнения для плотности вероятностей W(x; t) зависит от вида распределений /(г) и tu (ж), а точнее - от их лаплас-образа f(s) и характеристической функции w(u). Далее будут получены асимптотические уравнения для W(x; t), справедливые на различных временных масштабах, в случае распределения/(г) с лаплас-образом V "I + sp " > где S - малый параметр. Все моменты /(г) ограничены, что делает его физически более корректным, нежели родственное ему дробно-экспоненциальное распределение - (отвечающее значению 6 = 0), являющееся одним из ключевых в теории аномальной диффузии. Рассмотрим случай, когда параметр 6 мал настолько, что временной интервал между 1 и 1/(5 достаточно велик. Тогда процесс X(t) проходит последовательно три стадии. Вначале, на временах t 1, поведение процесса зависит от тонкой структуры распределений / (г) ию(х) ияе отражает универсальных законов диффузии. Далее, на временах между 1 и 1/6, за счет медленно спадающих степенных хвостов распределения /(т) процесс подчиняется аномально-диффузионным законам. Затем, при t 3> 1/6, процесс подчиняется нормальному линейно-диффузионному закону благодаря экспоненциально убывающим при т 1/6 хвостам распределения /(г). Подставим f(s) (3.1) в уравнение (2.2) и обсудим его асимптотику при s 1, что соответствует вероятностным свойствам скачкообразного процесса на больших временах. Применительно к лаплас-образу распределения /(т) выделим случай s Цена 18 ^уб. Переплет 1 р. и (2.2) примет вид А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН в ©(«;«) + - ш(«)]в(«; 5) = 1, а во втором/(в) ~ 1 - (1 + 8$) и, соответственно, «"§(«; э) + (1 + - й(«)]в(и; «) = в"-1. Применяя к полученным равенствам обратное преобразование Фурье и Лапласа, придем к уравнению Колмогорова-Феллера > + [цг{х.^ _ * Ц*)] = < оо, или к обобщенному уравнению Колмогорова-Феллера А+б0)т*м) - ж{х-л)*ю(,х)} = 1«*« характерной, например, для многомерного нормального распределения с независимыми координатами и одинаковой дисперсией а2 по всем осям. Тогда из приведенных выше уравнений вытекают соответственно уравнения линейной и аномальной диффузии для разных временных асимптотик: е- л ".(< "■ т? 2ч* "" ч"#""" " г(1 -0) Решение первого из них хорошо известно: хШх), !«*<-. (3.3) * " И" (х О- (1 + 1 + - где п - размерность пространства случайного процесса. Решение второго уравнения приведено в следующем разделе. Для того ч в п-мерном щ компонентам ного аргуме! /3-устойчиво Многомерна таг-Леффле Таким обрг диффузии . Прибор, измеряющий дисперсию случайного процесса, как это следует из (6.44), должен иметь на входе конденсатор, отделяющий постоянную составляющую. Дальнейшие этапы процесса измерения - возведение в квадрат и усреднение по времени - выполняются инерционным квадратичным вольтметром. Принцип работы измерителя функции корреляции (коррелометра) вытекает из формулы (6.45). Здесь мгновенные значения случайного сигнала после фильтрации постоянной составляющей, разделяясь на канала, поступают на перемножитель, причем в одном из каналов сигнал задерживается на время . Для получения значения функции корреляции сигнал с выхода перемножителя обрабатывается инерционным звеном, которое осуществляет усреднение. Независимо от величины Здесь приняты те же обозначения, что и в формуле (6.26). Элементы корреляционной матрицы этого случайного процесса определяются нормированной функцией корреляции: В дальнейшем часто будет использоваться двумерная гауссова плотность Стационарный гауссов процесс занимает исключительное место среди прочих случайных процессов - любая его многомерная плотность вероятности определяется даумя характеристиками: математическим ожиданием и функцией корреляции.
