Перед отправкой тепловоз издал гудок 400. Профильный уровень (Задачник части В)

04.02.2019

Задачи №10 ЕГЭ по математике тесно переплетены с физикой.

Да, порой только сам текст задачи может кого-то отпугнуть… Но главное – не поддаваться панике.

Ну и что, что в формула страшна, – начинайте в нее подставлять известные величины…

Так или иначе, в итоге мы будем приходить к решению линейных, квадратных, рациональных, тригонометрических и т.п. уравнений или неравенств .

Задачи, приводимые к линейным уравнениям и неравенствам

Задача 1. При температуре рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где - коэффициент теплового расширения, - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение:

При возрастании температуры произойдет тепловое расширение рельса длиной м, и его новая длина, выраженная в метрах , будет

М + мм м + м = м.

Тогда, подставляя в формулу все известные величины, получим:

Домножим обе части равенства на

Итак, при температуре рельс удлинится на 6 мм.

Задача 2. Некоторая компания продает свою продукцию по цене руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют руб., постоянные расходы предприятия руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объeм производства (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 600000 руб.

Решение:

Подставляем в формулу известные величины:

Нас интересует ситуация, когда месячная операционная прибыль предприятия () будет не меньше 600000 руб. , то есть будет больше или равна 600000 руб.

Поэтому получаем следующее неравенство:

Итак, . Тогда наименьший месячный объем производства равен 5000 единиц.

Ответ: 5000.

Задачи, приводимые к рациональным уравнениям и неравенствам

Задача 3. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 до 70 см, а расстояние от линзы до экрана - в пределах от 160 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Выразим из уравнения величину :

Так как известно, что расстояние от линзы до экрана может меняться в пределах от 160 до 180 см, то приходим к двойному неравенству:

При этом нам известно значение см. Тогда

Вычитаем из всех частей неравенства

Домножаем все части неравенства на -1, не забывая при этом про смену знака:

Наименьшее значение , отвечающее данному неравенству – 60. При этом найденное значение находится в пределах от 50 до 70 см, требуемых условием.

Задача 4. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна , где - ЭДС источника (в вольтах), Ом - его внутреннее сопротивление, R - сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 5% от силы тока короткого замыкания ? (Ответ выразите в омах.)

Решение:

Так как Ом, то

Тогда 5% от силы тока короткого замыкания есть

Cила тока () должна составлять не более 5% (меньше или равна 5%) от силы тока короткого замыкания .

Наименьшее , отвечающее полученному неравенству – 76.

Задача 5. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону (Гц), где c - скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а м/с. Ответ выразите в м/с.

Решение:

С учетом известных величин имеем:

Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц . При этом человек смог различить сигналы, поэтому

Итак, имеем:

Минимальное , отвечающее условию – 6. Это и есть минимальная скоростью приближения к платформе тепловоза.

Задача 6. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: , где - напряжение в вольтах, - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 . Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

Решение:

Чтобы прибор не начал плавиться, необходимо: , поэтому

При положительных значениях переходим к следующему неравенству:

Минимальное сопротивление , отвечающее полученному неравенству – 55.

Задача 7. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле , где - частота вынуждающей силы (в ), - постоянный параметр, - резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на одну пятнадцатую. Ответ выразите в .

Решение:

Амплитуда колебаний превосходит величину не более чем на одну пятнадцатую, то есть меньше или равна .

Поэтому предстоит решить следующее неравенство:

Поскольку по условию меньше , то “опускаем модуль”:

Опять же, в силу того, что меньше , говорим, что предыдущее неравенство равносильно следующему:

Максимальная частота , отвечающая данному неравенству – 90.

Задача 8. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой , где - температура нагревателя (в градусах Кельвина), - температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше 75%, если температура холодильника К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Решение:

Нас интересует ситуация, когда КПД не меньше 75%, то есть .

Подставляя также в последнее неравенство известную величину , получаем:

Решаем данное неравенство при помощи метода интервалов, помня также и о том, что title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="57" style="vertical-align: -4px;"> (предельное минимальное значение на шкале Кельвина – 0):

Минимальное значение , как видно из рисунка, равно .

Ответ: 1100.

Задача 9. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Ом и Ом их общее сопротивление даeтся формулой (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

Решение:

Интересует ситуация, когда

Используем также условие

Получаем:

Наименьшее подходящее значение – это 10.

Задача 10. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы кг. Он определяется формулой %, где Дж/(кгК) - теплоёмкость воды, Дж/кг - удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть кг воды от 20°С до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.

Решение:

По условию КПД кормозаправника %, кг, а также известны и

В силу того, что положительно, имеем:

Наименьшее требуемое количество дров – 32 кг.

Задача 11. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной метров и шириной метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где – масса экскаватора (в тоннах), – длина балок в метрах, – ширина балок в метрах, – ускорение свободного падения (считайте м/с ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

Решение:

Согласно условию

Так как положительно, то

Наименьшее значение ширины опорных балок – 2,5 м.

Ответ: 2,5.

Задача 12. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 149 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле , где м/с - скорость звука в воде, - частота испускаемых импульсов (в МГц), - частота отражeнного от дна сигнала, регистрируемая приeмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала , если скорость погружения батискафа не должна превышать 10 м/с. Ответ выразите в МГц.

Решение:

Согласно условию имеем:

Наибольшая возможная частота отраженного сигнала равна 151.

Ответ: 151.

Задача 13. Автомобиль, масса которого равна кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила , приложенная к автомобилю, не меньше 2000 Н. Ответ выразите в секундах.

Наибольшее , отвечающее неравенству, – 30.

10. Задачи прикладного содержания

10.2. Диагностическая работа

Ответами на задания диагностической работы должны быть целые числа или конечные десятичные дроби. Единицы измерений в ответы писать не нужно.

1.
где , где - коэффициент теплового расширения, - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
2. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой , где = -0,01, = 1 - постоянные параметры, х (м) - смещение камня по горизонтали, у (м) - высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
3.
где - постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, температура Т - в градусах Кельвина, а мощность P - в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности S , а излучаемая ею мощность Р не менее Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

4. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f 0 = 440 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону где с - скорость звука в воздухе (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с=315 м/с. Ответ выразите в м/с.

5.
Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч 2 .
6.
где m 0 - начальная масса изотопа, t - время, прошедшее от начала распада, Т - период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее m 0 = 40 мг изотопа азота-13, период полураспада которого T = 10 мин. В течение скольких минут масса изотопа азота-13 будет не меньше 10 мг?
7. Для обогрева помещения, температура в котором Тп = 20°С, через радиатор пропускают горячую воду температурой Тв = 60°С. Через радиатор проходит m = 0,3 кг/с воды. Проходя по радиатору расстояние х = 84м, вода охлаждается до температуры Г(°С), причём где - теплоемкость воды, - коэффициент теплообмена, а = 0,7 - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода?
8. a к плоской горизонтальной поверхности земли его время в полёте, выраженное в секундах, равно При каком наименьшем значении угла а (в градусах) время в полёте будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью v 0 = 30 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 .
9. а a
10.
где а

11. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением , где p(атм) - давление в газе, V- объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 256 л, а его давление равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде поднялось до 128 атмосфер? Ответ выразите в литрах.

12. На рельсах стоит платформа. Скейтбордист прыгает на неё со скоростью v = 3 м/с под острым углом а к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью где m = 80 кг - масса скейтбордиста со скейтом, а М = 400 кг - масса платформы. Под каким наибольшим углом a (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу до скорости не менее чем 0,25 м/с?

13. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону , где (мг) - начальная масса изотопа, t (мин.) - время, прошедшее от начального момента, T (мин.) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа =50 мг. Период его полураспада T=5 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

14. Катер должен пересечь реку шириной L = 100 м так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Скорость течения реки u - 0,5 м/с. Время в пути, измеряемое в секундах, равно ,

где а - острый угол между осью катера и линией берега. Под каким минимальным углом а к берегу нужно направить катер, чтобы время в пути было не больше 200 с? Ответ дайте в градусах.

15. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h над Землей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) - радиус Земли. Найдите, с какой высоты линия горизонта видна на расстоянии 4 км. Ответ выразите в метрах.

16. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от -4 до 4. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится впятеро, информативность втрое, а оперативность вдвое дороже, чем качество сайта. Таким образом, формула приняла вид . Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число , при котором это условие будет выполняться.

17. Для одного из предприятий зависимость объема спроса на продукцию (единиц в месяц) от цены (тыс. руб.) задается формулой . Определите максимальный уровень цены (тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц составило бы не менее 260 тыс. рублей.

18. Небольшой камень бросают под некоторым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Найдите, при каком наименьшем значении угла (в градусах) камень перелетит через реку шириной 7,2 метра, если расстояние, которое он преодолевает, вычисляется по формуле , где м/с - начальная скорость камня, м/с2- ускорение свободного падения.

19. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрочайник. Каково наименьшее возможное сопротивление (в Омах) электрочайника, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями и их общее сопротивление задается формулой , а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 36 Ом?

20. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 64 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.

21. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала Гц и определяется следующим выражением: (Гц), где c - скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u = 6

м/с и v = 7 м/с - скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 125 Гц?

Для самостоятельного решения

1. При температуре 0°С рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону
где , где - коэффициент теплового расширения, - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 4,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
2. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой , где = - 1/60, = 7/6 - постоянные параметры, х (м) - смещение камня по горизонтали, у (м) - высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
3. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела Р, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры:
где - постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, температура Т - в градусах Кельвина, а мощность P - в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности S а излучаемая ею мощность Р не менее . Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

4. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f 0 = 245 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону где с - скорость звука в воздухе (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с = 300 м/с. Ответ выразите в м/с.

5. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной L (в километрах) с постоянным ускорением а (в км/ч 2), вычисляется по формуле .
Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,9 километр, приобрести скорость не менее 90 км/ч. Ответ выразите в км/ч 2 .
6. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
где m 0 - начальная масса изотопа, t - время, прошедшее от начала распада, Т - период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее m 0 = 40 мг изотопа азота-13, период полураспада которого T = 10 мин. В течение скольких минут масса изотопа азота-13 будет не меньше 5 мг?
7. Для обогрева помещения, температура в котором Тп = 20°С, через радиатор пропускают горячую воду температурой Тв = 100°С. Через радиатор проходит m = 0,4 кг/с воды. Проходя по радиатору расстояние х = 84 м, вода охлаждается до температуры Г(°С), причём где - теплоемкость воды, γ = 42 - коэффициент теплообмена, а = 0,7 - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода?

8. При бросании мяча под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли его время в полёте, выраженное в секундах, равно При каком наименьшем значении угла а (в градусах) время в полёте будет не меньше 1 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v 0 = 10 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 .
9. На рельсах стоит платформа. Скейтбордист прыгает на неё со скоростью v = 3 м/с под острым углом а к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью где m = 80 кг - масса скейтбордиста со скейтом, а М = 420 кг - масса платформы. Под каким наибольшим углом a (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу до скорости не менее чем 0,4 м/с?
10. Катер должен пересечь реку шириной L = 120 м так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Скорость течения реки u = 0,6 м/с. Время в пути, измеряемое в секундах, равно ,
где а - острый угол между осью катера и линией берега. Под каким минимальным углом а к берегу нужно направить катер, чтобы время в пути было не больше 200 с? Ответ дайте в градусах.

11. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h над Землей, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) - радиус Земли. Найдите, с какой высоты линия горизонта видна на расстоянии 4,8 км. Ответ выразите в метрах.

Ответ : 7.

Ответ: 12

f c — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются более чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а м/с. Ответ выразите в м/с.

Решение.

прототипа.

Задача сводится к решению неравенства при известном значении постоянной Гц:

Ответ : 7.

Ответ: 6

Решение.