Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин . Если функции f (x ) и g (x a a , причём в этой окрестности g "(x a равны между собой и равны нулю

().

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, может быть, самой точки a , причём в этой окрестности g "(x )≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Замечания .

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f (x ) и g (x ) не определены при x = a .

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f (x ) и g (x ) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a , а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"

Пример 1.

x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе - производную сложной логарифмической функции . Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел , подставляя вместо икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"

Пример 12. Вычислить

.

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.

Пример 13.

Решение. Получаем

.

.

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

.

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

Методы решения пределов. Неопределённости.
Порядок роста функции. Метод замены

Пример 4

Найти предел

Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).

Если «икс» стремится к «минус бесконечности»

Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.

Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:

1) Вычислим предел

Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени , в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна , поэтому:

2) Вычислим предел

Здесь старшая степень опять чётная , поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:

3) Вычислим предел

Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна , значит:

4) Вычислим предел

Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:
.

Пример 5

Найти предел

Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:

Решение тривиально:

Пример 6

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:

Пример 7

Найти предел

Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:

Решаем:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 15

Найти предел

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:

Пример 16

Найти предел

При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?

Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице . Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.

Проведем замену:

Если , то

Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .

Завершаем решение:

(1) Проводим подстановку

(2) Раскрываем скобки под косинусом.

(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .

Задание для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти предел

Полное решение и ответ в конце урока.

Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения , приходится использовать самые разные тригонометрические формулы , а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)

В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:

Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»

Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.

Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?

На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):

Неопределённость можно устранить по формуле:

Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.

Выделим существенные моменты формулы:

1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой .

2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.

С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :

В данном случае , и по формуле :

Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел.

Включение

Для начала необходимо включить данный чип. В устройствах от компании Xiaomi это можно сделать следующим способом:

• заходим в приложение “Настройки”;
• открываем вкладку “Дополнительные функции”;
• выбираем пункт “NFC” и ставим переключатель в активное положение.

Возможности использования:

• Передача данных

В этом же меню Вы можете активировать Android Beam. С его помощью вы сможете передавать данные между двумя Аndroid-устройствами, в которых есть NFC.

Для передачи документа/изображения или любого другого файла:

включаем NFC на обоих устройствах;

выбираем файл, который необходимо передать;

Важно помнить, что скорость передачи по NFC будет ниже, нежели с помощью Bluetooth.

Быстрая синхронизация устройств

Если вы привыкли пользоваться беспроводными наушниками или умной бытовой техникой, то и здесь вам наверняка пригодится NFC. Для подключения новых наушников, либо же умной стиральной машинки вам не придется проводить долгую процедуру поиска и синхронизации через Bluetooth. Необходимо лишь включить NFC и приложить смартфон к вашему умному устройству. Место, где находится NFC чип, помечается специальным символом:

Использование меток

Наличие NFC в смартфоне также поможет оптимизировать и ускорить работу устройства, посредством использования NFC меток.

Что такое NFC метка? Это небольшая гибкая пластина, которая снабжена чипом NFC и небольшим объёмом памяти. Ее можно использовать для хранения различного рода информации, которая будет использована впоследствии. К примеру, на метку вы можете сохранить настройки вашего будильника или включение авиарежима. Границы использования данной функции ограничиваются лишь встроенной памятью меток и вашей фантазией.

Эмуляция карт

Технология NFC также позволяет эмулировать карточки: вы можете совершать различные платежи с помощью вашего смартфона (только с терминалами, которые работают по технологии PayWay). Для успешной работы системы потребуются телефон с NFC и специальное банковское приложение, через которое вы привяжите вашу карту к гаджету.

Также смартфон с NFC поможет заменить пропуск на работу или, в скором будущем, проездной билет. При использовании умных замков с NFC также не придется беспокоиться о ключе - теперь это будет работа вашего девайса.

Использование для просмотра информации

Некоторые бренды и компании используют NFC метки, которые хранят информацию об устройстве либо о способе приобретения устройства. Например, если вы хотите узнать подробнее о желанной шубе или новом автомобиле, то простое поднесите смартфон к метке и получите всю необходимую информацию.

Познавайте мир технологий вместе с Xistore!

23 мая в России будет запущен сервис Android Pay. Его аналоги - Apple Pay, Samsung Pay и Alipay - уже работают в России, кроме того, у некоторых банков и платёжных систем есть приложения, которые позволяют расплачиваться в магазинах, используя смартфон. Во-первых, это удобно - не нужно носить с собой пластик, а во-вторых, безопасно - не требуется «светить» карту и вводить PIN-код для небольших покупок. Однако большинству пользователей недорогих смартфонов бесконтактные платежи через приложения недоступны по досадной причине - в их устройствах нет чипа NFC. Он необходим для сопряжения смартфона с платёжным терминалом и передачи данных о транзакции.

С помощью небольшого лайфхака добавить поддержку бесконтактных платежей можно любому смартфону, даже без NFC. Правда, в этом случае платёж будет осуществляться не через приложение, а банковской картой (обязательно - с поддержкой MasterCard PayPass или Visa payWave). Наша задача - спрятать её в смартфон и не нарушить правила использования, установленные банком.

Установить карту в смартфон можно одним из двух способов - между аккумулятором и задней крышкой или под защитный чехол. Очевидно, что в первом случае у смартфона должен быть разборный корпус, и приготовьтесь к тому, что крышка деформируется и в дальнейшем будет недостаточно плотно прилегать к аккумулятору, из-за чего возможны непроизвольные выключения устройства. Поэтому рекомендуется заранее приобрести крышку, которая придёт на замену деформированной после того, как вы наиграетесь бесконтактными платежами или решите избавиться от устройства.

Имейте в виду, что вы наденете на смартфон чехол, карта, скорее всего, не будет считываться терминалом, поскольку волны от NFC-чипа не смогут пробиться сквозь преграду. Некоторые терминалы не поддерживают бесконтактную оплату, и на этот случай лучше иметь резервную карту, не спрятанную в смартфон.

В том случае, если корпус вашего смартфона неразборный, внутри недостаточно места для карты или вы не готовы портить заднюю крышку, карту можно разместить под чехлом. Лучше выбрать непрозрачный чехол или бампер из мягкого материала (пластика, силикона, кожи и т.п.) Чтобы карта не выпала, приклейте её к чехлу или корпусу на канцелярский клей или тонкий скотч, - он хорошо держит, но при желании вы сможете достать карту, не повредив её.

Как вариант - можно использовать чехол-книжку с отделениями для карт и просто прислонять её к терминалу при оплате товара. Важно, чтобы чехол не был толстым и плотным - в этом случае NFC-чип карты не будет считываться. Если отделений несколько, оставьте в них только одну банковскую карту.

Казалось бы, гораздо проще спрятать в смартфон или под чехол не всю карту, а только чип, но дело в том, что резать карту нельзя. Вы рискуете повредить антенны NFC-чипа, кроме того, продавец имеет право отказать в приёме платежа, если вы не сможете продемонстрировать целую карту с номером, кодами безопасности, именем, фамилией и подписью. Банковская карта является собственностью банка и продавец может конфисковать её (даже обрезанную) и вызвать полицию для выяснения обстоятельств. Конечно, такие случаи крайне редки, но лучше не рисковать и не проводить незаконных экспериментов с платёжными инструментами. Если карта цела, никаких претензий к вам не возникнет.

Что внутри бесконтактной карты:

У такого, казалось бы, сомнительного способа расплачиваться есть несколько преимуществ. Во-первых, скорее всего, ваш смартфон всегда с вами, а значит, у вас всегда будут при себе деньги (если они есть на карте). Во-вторых, даже если смартфон разрядится, карта будет работать. И в-третьих, в отличие от банковских и платёжных приложений, пластиковая карта работает без интернета. Даже если вы пользуетесь мобильным интернетом, в некоторых магазинах соединение может отсутствовать (например, из-за толстых стен или размещения в подвальном помещении): расплатиться через приложение вы бы не смогли, а картой в смартфоне - запросто.