Восстановление непрерывного сигнала. Погрешности дискретизации и восстановления сигнала

Согласно теореме Котельникова непрерывный сигнал , в спектре которого не содержится частот выше , полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений, отсчитанных через интервал времени и может быть представлен рядом

.

Ряд(2) называют рядом Котельникова. Если представить (2) в следующем виде:

,

,

то (в соответствии с выражением (1) - система базисных функций, а - коэффициенты ряда.
Система базисных функций ортогональна на интервале времени , т.е.

Выражение(5) – это выражение для энергии базисной функции. При выражение (5) соответствует взаимной энергии. Т.к. взаимная энергия равна нулю, то система базисных функций ортогональна.
Каждая из базисных функций сдвинута относительно ближайшей функции и на время

,

соответствующее временному интервалу дискретизации между двумя отсчетными точками, которые иногда называют интервалом Найквиста.
Функция , изображенная на рис. 1. обладает свойством

где - любое целое положительное или отрицательное число.

Рис. 1. График базисной функции

Рис. 2 поясняет аппроксимацию непрерывного сигнала рядом Котельникова. На графике построены три члена ряда (2), соответствующие отсчетам функции в моменты времени , , . При суммировании этих членов ряда в точках отсчетов ( , , ) получаем точные значения сигнала . Следовательно, в отсчетные моменты времени непрерывный сигнал аппроксимируется точно независимо от числа взятых отсчетов, т.е. от числа членов ряда Котельникова. Между отсчетами () сигнал аппроксимируется точно только в том случае, когда суммируются все члены ряда (2) и соблюдается условие сформулированное в теореме Котельникова.

Рис. 2. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова

Согласно формуле (2) ряд Котельникова может использоваться для восстановления непрерывного сигнала без погрешностей. Однако в реальной ситуации погрешности возникают. Рассмотрим их источники.
На практике ряд Котельникова ограничен. Сигнал, ограниченный во времени приближенно описывается рядом (8), состоящим из конечного числа членов:

.

При суммировании членов ряда (8) сигнал воспроизводится точно только в точках отсчетов . В промежутках между отсчетами возникает погрешность аппроксимации, которая возникает у краев интервала , где отброшенные члены ряда имеют наибольшее значение.
Вторым источником погрешности является то, что реальные сигналы ограничены во времени и обладают, следовательно, неограниченным по частоте спектром. Однако вне некоторой полосы частот составляющие реальных сигналов обладают малой энергией по сравнению с энергией сигнала . Такие сигналы можно приближенно считать ограниченными по времени и по частоте и представлять рядом Котельникова. Это приближение является источником погрешности.

Рис. 3. Приближенное представление сигнала, ограниченного по времени и частоте

Третьим источником погрешности является неидеальность дискретизации, заключающаяся в том, что значения соответствует не моменту времени (функция дискретизации – последовательность дельта-функций), а небольшому интервалу с длительностью (функция дискретизации – последовательность прямоугольных импульсов).

Восстановление дискретизированного сигнала с помощью степенных полиномов, погрешности аппроксимации, определение частоты дискретизации. Виды аппроксимации, погрешность аппроксимации

При аппроксимации сигнал на каждом участке между его известными значениями заменяется кривой, изменяющейся по определенному закону:
· горизонтальной прямой при ступенчатой аппроксимации;
·отрезком наклонной прямой при кусочно-линейной аппроксимации;
· участком параболы при параболической аппроксимации.

Разность между аппроксимированным, т.е. восстановленными и действительными промежуточными значениями функции называют погрешностью аппроксимации.

Таким образом погрешность аппроксимации определяется выражением

Погрешность от аппроксимации зависит от:
· скорости изменения ;
· способа аппроксимации;
· интервала дискретизации.
Погрешность аппроксимации увеличивается с увеличением скорости изменения сигнала, уменьшается с усложнением вида аппроксимации, увеличивается с увеличением интервала дискретизации. Примеры аппроксимации приведены на рис. 4.

Рис. 4. Примеры аппроксимации: а) исходный сигнал; б) дискретизированный сигнал; в) сигнал, восстановленный с помощью ступенчатой аппроксимации; д) сигнал, восстановленный с помощью кусочно-линейной аппроксимации; г), е) – графики погрешностей аппроксимации.

Ступенчатая аппроксимация

При ступенчатой аппроксимации используется степенной полином нулевого порядка, т.е. аппроксимация производится отрезком горизонтальной прямой, начинающимся с момента измерения, предшествующему интервалу восстановления.

Максимальное значение погрешности от аппроксимации в этом случае будет на наиболее крутом участке функции, где первая производная достигает наибольшего значения.

.

Выражение (11) может быть использовано для расчета необходимой частоты дискретизации при заданной модели сигнала.

Пример 1
Если принять для расчета модель Берштейна, которая справедлива для стационарных случайных функций с равномерным спектром в полосе частот сигнала от до , то , где - максимальное значение амплитуды сигнала.
Тогда , а приведенная погрешность аппроксимации равна

.

Тогда при заданной погрешности аппроксимации частота дискретизации равна

Т.е., при .
Таким образом при использовании модели Бернштейна при погрешности аппроксимации 1% частота дискретизации должна быть в 628 раз больше частоты сигнала.
Пример 2
Считают, что использование модели Бернштейна приводит к завышенным требованиям к частоте дискретизации. Если принять более реальную модель, когда амплитуды гармонических составляющих с номером

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

Теорема Котельникова точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром. На рис. 4.15 показаны некоторые варианты финитных спектров.

Однако спектры реальных информационных сигналов бесконечны (рис. 4.16). В этом случае теорема Котельникова справедлива с погрешностью.

Погрешность дискретизации определяется энергией спектральных составляющих сигнала, лежащих за пределами частоты
(рис. 4.16).

.

Вторая причина возникновения погрешностей - неидеальность восстанавливающего ФНЧ.

Таким образом? погрешность дискретизации и восстановления непрерывного сигнала определяется следующими причинами:

Спектры реальных сигналов не финитны.

АЧХ реальных ФНЧ неидеальны.

Рис.4.17. Структурная схема RC-фильтра

Например, если в качестве ФНЧ использовать RC-фильтр (рис.4.17), то восстановленный сигнал на его выходе будет иметь вид, представленный на рис.4.18.

Импульсная реакция RC-фильтра равна:

.

Вывод: чем выше
и чем ближе характеристики ФНЧ к идеальным, тем ближе восстановленный сигнал к исходному.

4.6. Квантование сообщений. Ошибки квантования

Итак показано, что передачу практически любых сообщений
можно свести к передаче их отсчетов, или чисел
, следующих друг за другом с интервалом дискретности
. Тем самым непрерывное (бесконечное ) множество возможных значений сообщения
заменяетсяконечным числом его дискретных значений
. Однако сами эти числа имеют непрерывную шкалу уровней (значений), то есть принадлежат опять же континуальному множеству. Дляабсолютно точного представления таких чисел, к примеру, в десятичной (или двоичной) форме, необходимо теоретически бесконечное число разрядов. Вместе с тем, на практике нет необходимости в абсолютно точном представлении значений
, как и любых чисел вообще.

Во-первых, сами источники сообщений обладают ограниченным динамическим диапазоном и вырабатывают исходные сообщения с определенным уровнем искажений и ошибок. Этот уровень может быть большим или меньшим, но абсолютной точности воспроизведения достичь невозможно.

Во-вторых, передача сообщений по каналам связи всегда производится в присутствии различного рода помех. Поэтому, принятое (воспроизведенное) сообщение (оценка сообщения
) всегда в определенной степени отличается от переданного, то есть на практикеневозможна абсолютно точная передача сообщений при наличии помех в канале связи.

Наконец, сообщения передаются для их восприятия и использования получателем. Получатели же информации - органы чувств человека, исполнительные механизмы и т.д. - также обладают конечной разрешающей способностью, то есть не замечают незначительной разницы между абсолютно точным и приближенным значениями воспроизводимого сообщения. Порог чувствительности к искажениям также может быть различным, но он всегда есть.

С учетом этих замечаний процедуру дискретизации сообщений можно продолжить, а именно подвергнуть отсчеты
квантованию.

Процесс квантования состоит в замене непрерывного множества значений отсчетов дискретным множеством
. Тем самым точные значения чисел
заменяются их приблизительными (округленными до ближайшего разрешенного уровня) значениями. Интервал между соседними разрешенными уровнями, или уровнями квантования,
называетсяшагом квантования .

Различают равномерное и неравномерное квантование. В большинстве случаев применяется и далее подробно рассматривается равномерное квантование (рис. 4.19), при котором шаг квантования постоянный: ; однако иногда определенное преимущество дает неравномерное квантование, при котором шаг квантования разный для различных (рис. 4.20).

Квантование приводит к искажению сообщений. Если квантованное сообщение, полученное в результате квантования отсчета
, обозначить как , то

где - разность между истинным значением элементарного сообщения и квантованным сообщением (ближайшим разрешенным уровнем) , называемая ошибкой квантования, или шумом квантования . Шум квантования оказывает на процесс передачи информации по существу такое же влияние, как и помехи в канале связи. Помехи, так же как и квантование, приводят к тому, что оценки , получаемые на приемной стороне системы связи, отличаются на некоторую величину от истинного значения.

Поскольку квантование сообщений приводит к появлению ошибок и потере некоторой части информации, можно определить цену таких потерь
и среднюю величину ошибки, обусловленной квантованием:

Чаще всего в качестве функции потерь (цены потерь) используется квадратичная функция вида

В этом случае мерой ошибок квантования служит дисперсия этих ошибок. Для равномерного
-уровневого квантования с шагом дисперсия ошибок квантования определяется следующим образом:

Абсолютное значение ошибки квантования не превосходит половины шага квантования , и тогда при достаточно большом числе уровней квантования
и малой величине плотность распределения вероятностей ошибок квантования
можно считать равномерной на интервале + … -:

В результате величина ошибки квантования определится соотношением

и соответствующим выбором шага квантования может быть сделана сколь угодно малой или сведена к любой наперед заданной величине.

Относительно требуемой точности передачи отсчетов сообщений можно высказать те же соображения, что и для ошибок временной дискретизации: шумы квантования или искажения, обусловленные квантованием, не имеют существенного значения, если эти искажения меньше ошибок, обусловленных помехами и допустимых техническими условиями.

При выборе шага дискретизации непрерывных процессов, в частности сигналов и помех, необходимо оценить погрешность замены непрерывных процессов дискретными. В настоящем параграфе рассматриваются вопросы оценки этой погрешности.

Пусть непрерывный процесс изображается, на ЦВМ. в виде последовательности его значений в равноотстоящих точках . Ясно, что дискретный процесс лишь приближенно изображает непрерывный процесс. Требуется найти количественную меру этого приближения, т. е. найти погрешность дискретизации. Величина погрешности дискретизации, очевидно, зависит от того, что понимается под погрешностью. Определение погрешности дискретизации зависит от той задачи, в которой используется дискретный процесс вместо непрерывного. При рассмотрении некоторой конкретной задачи погрешность дискретизации целесообразно определить как величину отклонения результата ее решения при использовании дискретного процесса от результата решения этой же задачи при использовании непрерывного процесса. Поскольку задачи могут быть самыми разнообразными, то определить заранее, к чему может привести дискретизация, не представляется возможным. Поэтому обычно под погрешностью дискретизации процессов понимается та погрешность, с которой может быть восстановлен непрерывный процесс по его дискретным значениям, т. е. понимается погрешность в задаче интерполяции непрерывного процесса по дискретным точкам.

Восстановление непрерывного процесса по соответствующему ему дискретному процессу обычно можно представить как пропускание последовательности «мгновенных» импульсов (-функций) с огибающей и периодом через линейный интерполирующий фильтр (ИФ) (восстанавливающий элемент) с некоторой импульсной переходной характеристикой (интерполирующей функцией) . Этому соответствует схема восстановления, показанная на рис. 1.4. Она содержит ключ, замыкающийся в моменты времени , и интерполирующий фильтр (восстановление как процесс прерывания и сглаживания ). В результате восстановления образуется сигнал

(1.34)

В соответствии с данной схемой осуществляется восстановление процессов при наиболее распространенных видах интерполяции: ступенчатой несимметричной и симметричной (метод прямоугольников, рис. 1.5 а, б), линейной (метод трапеций, рис. 1.5, в) и др.

Ошибку интерполяции

(1.35)

можно рассматривать как выходной сигнал схемы, представленной на рис. 1.6, при воздействии на входе сигнала .

Ниже найдены достаточно простые общие выражения для корреляционной функции, энергетического спектра и дисперсии ошибки в предположении, что - стационарный центрированный случайный процесс. Из общих соотношений в качестве примеров выведены частные соотношения, соответствующие наиболее распространенным типам интерполирующих фильтров.

Аналогичная задача, но иными методами, решалась в работах . Однако в них получены более сложные, а в ряде случаев лишь частные и приближенные решения. Здесь предложен новый подход к рассматриваемой задаче, позволяющий найти ее общее точное решение, отличающееся, кроме того, тем, что из него следует простое решение задачи оптимизации характеристик интерполирующих фильтров по критерию минимума среднеквадратической ошибки интерполяции.

Если период дискретизации

достаточно мал, так что выполняется условие то соседние составляющие спектра дискретизированного колебания не перекрываются, как показано на рис. 2.5, а. В этом случае легко указать способ восстановления непрерывного колебания из дискретного, который состоит в том, что дискретный сигнал следует пропустить через идеальный фильтр нижних частот с полосой пропускания (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Спектр дискретного колебания в виде последовательности модулированных импульсов частотная характеристика фильтра нижних частот и спектр восстановленного сигнала

При этом из спектра дискретизированного сигнала будет выделена средняя часть (рис. 2.5, в), которая с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром исходного непрерывного колебания

Однако если исходное непрерывное колебание таково, что его спектр с ростом частоты не обращается строго в нуль, то при любом выборе интервала дискретизации соседние составляющие спектра дискретизированного колебания будут частично перекрываться (рис. 2.6, а). Если сигнал с таким спектром пропускать через идеальный фильтр нижних частот, то на выходе фильтра получится колебание, отличающееся от исходного непрерывного сигнала Это отличие состоит не только в том, что «отрезана» часть спектра выше частоты но также и в том,

что на спектр этого колебания накладываются «хвосты» от соседних спектральных составляющих (рис. 2.6, б).

Наиболее простой и очевидный способ уменьшения ошибки дискретизации - это повышение частоты дискретизации. Однако для получения достаточно малой ошибки частоту дискретизации приходится брать очень высокой, особенно если спектр сигнала убывает медленно, что в ряде случаев бывает нежелательно.

Рис. 2.6. Ошибки дискретизации сигнала со спектром, убывающим асимптотически: а - спектр дискретизированного сигнала; б - спектр сигнала после прохождения через идеальный фильтр нижних частот; в - спектр сигнала ошибки

Для уменьшения погрешности дискретизации можно перед дискретизацией пропустить сигнал через фильтр нижних частот с частотной характеристикой, близкой к прямоугольной. При этом спектр сигнала становится быстро убывающим, почти ограниченным, и дальнейшая дискретизация происходит практически без ошибок. Результирующая ошибка в этом случае определяется искажениями спектра при прохождении сигнала через фильтр нижних частот. Вследствие того, что на спектр сигнала в области частот не накладываются «хвосты» от соседних составляющих, эта ошибка получается приблизительно в 2 раза меньше, чем при непосредственной дискретизации сигнала.

Пропускание сигнала через фильтр нижних частот перед дискретизацией является очень полезной мерой для снижения погрешности, если дискретизация сигнала производится при наличии широкополосного шума на входе. При прохождении через фильтр нижних частот дисперсия шума уменьшается и соответственно уменьшается ошибка дискретизации.

Рис. 2.7. Ошибки восстановления сигнала при неидеальной характеристике фильтра нижних частот: а - спектр дискретизированного сигнала; б - характеристика ФНЧ; в - спектр сигнала на выходе ФНЧ

Еще одним источником ошибки является неидеальная фильтрация в процессе восстановления непрерывного сигнала из дискретного. Идеальная прямоугольная форма частотной характеристики фильтра нижних частот практически не может быть реализована; для сглаживания сигнала обычно применяют фильтры, имеющие монотонно спадающую характеристику (рис. 2.7, б). Если на вход такого фильтра подать дискретизированный сигнал со спектром, изображенным на рис. 2.7, а, то на выходе фильтра помимо основного сигнала, которому соответствует центральная часть спектра, появятся дополнительные составляющие, вызванные неполным подавлением боковых частей спектра (рис 2.7, в). Вследствие этого восстановленный сигнал будет отличаться по форме от исходного непрерывного сигнала. Главный метод борьбы с этими

погрешностями состоит в увеличении частоты дискретизации. Однако увеличение частоты дискретизации приводит к усложнению и удорожанию устройства обработки сигналов. Поэтому в каждом конкретном случае приходится искать компромиссное решение, исходя из характера сигнала, требуемой точности его восстановления, характеристик применяемого сглаживающего фильтра и других факторов. Все это приводит к тому, что в реальных устройствах частота дискретизации выбирается равной не как следует из теоремы Котельникова, а в 2-5 раз выше.

Рис. 2.8. Сигнал с конечной длительностью и его спектр