Определитель n-го порядка. Свойства определителей

ортогональный унитарный матрица полилинейный

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.

Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому

Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка

Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (рис.2.1).

Для определителя третьего порядка имеем

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:

Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка

Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других -- со знаком минус.

Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).

Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, -- со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).

Вычисление определителей порядка N>3.

Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.

Пример 2.1. Вычислить определители

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим;

Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)

Пусть дана квадратная матрица порядка.

Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на

Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i-й строке);

(разложение по j-му столбцу).

Замечания 2.1.

1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.

2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.

Пример 2.2. Найти определитель матрицы

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:

Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):

Определитель матрицы треугольного вида

Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы

Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):

где -- дополнительный минор элемента. Обозначим. Тогда. Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя, получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как, но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель, по последней строке ((n-1)-й строке), получаем. Продолжая аналогичным образом и учитывая, что, приходим к формулет.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечания 2.2

1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2. Определитель единичной матрицы равен 1.

3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Основные свойства определителей (детерминантов)

1. Для любой квадратной матрицы, т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.

2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю:.

3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметричности):

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:

5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:

6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:

7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов, то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:

8. Определитель линеен по любому столбцу:

9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:

10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:

Замечания 2.3

1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е.):

Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя

у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.

2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.

3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что

4. Пусть -- квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и, называется присоединенной по отношению к, если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы. Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:

а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением, при этом получим матрицу;

б) найти присоединенную матрицу, транспонируя матрицу.

Из формул (2.4) следует, что, где -- единичная матрица того же порядка, что и.

Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы, где -- произвольная квадратная матрица, -- единичная, а -- нулевая матрица соответствующего порядка, -- транспонированная.

Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы. Следовательно,

Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Определение 7. Определителем матрицы А (определителем n-го порядка) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «-» в противном случае.

Обозначение определителя: |А | = .

Например, при n = 6 произведение а 21 а 13 а 62 а 34 а 46 а 55 является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Подстановка, составленная из его индексов будет . В ней 4-е инверсии в верхней строке и 2-е инверсии – в нижней. Общее число инверсий равно 6, т.е. подстановка чётная. Следовательно, данное произведение входит в разложение определителя со знаком «+».

Произведение а 21 а 13 а 62 а 34 а 46 а 15 не является членом определителя, так как в него входят два элемента из первой строки.

Свойства определителей.

1 0 . При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).

Действительно, если (-1) к является членом определителя, то все a 1 , a 2 , … , a n различны и к – число инверсий в перестановке (a 1 , a 2 , … , a n). При транспонировании номера строк станут номерами столбцов и наоборот. Следовательно, в произведении все множители будут из разных столбцов и строк, т.е. это произведение будет входить в транспонированный определитель. Знак его будет определяться числом инверсий в подстановке . Но это число, очевидно равно к. Итак, (-1) к будет членом транспонированного определителя. Так как мы брали любой член данного определителя, а число членов в данном и транспонированном определителях одинаково, то отсюда и следует их равенство. Из доказанного свойства следует, что всё, что будет доказано для строк определителя, будет верно и для его столбцов.

2 0 . Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Это следует из того, что по одному элементу указанной строки (или столбца) будет входить в каждый член определителя.

3 0 . Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Действительно, если все элементы к-ой строки имеют общий множитель l, то их можно записать в виде . Любой член определителя будет иметь вид (-1) s . Следовательно, из всех членов определителя можно вынести множитель l.

4 0 . Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

Действительно, если (-1) к любой член данного определителя, то в новом определителе номера строк р и q поменяются местами, а номера столбцов останутся прежними. Следовательно, в новом определителе это же самое произведение будет входить в виде (-1) s . Так как в номерах строк произошла одна транспозиция, а номера столбцов не изменились, то к и s имеют противоположные чётности. Итак, все члены данного определителя изменили знак, следовательно, и сам определитель изменил знак.

5 0 . Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, пусть все элементы к-ой строки равны соответствующим элементам р-ой строки, умноженным на l, т.е. |А | = = = 0.

6 0 . Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.

Пусть элементы к-ой строки будут + с к1 , + с к2 , …. , + с кn . Тогда любой член определителя будет иметь вид

(-1) s = (-1) s + (-1) s .

Собрав все первые слагаемые, мы получим определитель, отличающийся от данного только к-ой строкой. На месте к-ой строки будут стоять , , …. , . Собрав все вторые слагаемые, получим определитель тоже отличающийся от данного только к-ой строкой. В к-ой строке будут стоять с к1 , с к2 , …. , с кn .

7 0 . Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.

Это свойство является следствием двух предыдущих.

Если в определителе |А | вычеркнуть к-ую строку и р-ый столбец, то останется определитель (n–1)-го порядка. Он называется минором, дополнительным для элемента и обозначается М кр . Число (-1) к+р ×М кр называется алгебраическим дополнением для элемента и обозначается А кр .

8 0 . Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.

Лемма 1 D = . (8)

Доказательство. Если а 11 = 0, то равенство (8) очевидно. Пусть а 11 ¹ 0. Так как в каждый член определителя входит точно один элемент из первой строки, то ненулевыми членами определителя могут быть только те, в которые входит а 11 . Все они имеют вид , где g к и к пробегают значения от 2 до n . Знак этого члена в определителе D определяется чётностью подстановки s = .Таким образом D есть алгебраическая сумма слагаемых вида со знаками, определяемыми подстановкой s. Если в этой сумме вынести за скобки а 11 , то получим, что D = а 11 × S , где S есть алгебраическая сумма слагаемых вида , знак которых определяется подстановкой s. Этих слагаемых, очевидно, (n – 1)!. Но подстановка s и подстановка имеют одинаковую чётность. Следовательно, S = М 11 . Так как А 11 = (-1) 1+1 ×М 11 = М 11 , то D = а 11 ×А 11 .

Лемма 2. D = (9)

Доказательство. В определителе D переставим р-ую строку последовательно с каждой предыдущей. При этом р-ая строка займёт место первой строки, но минор, дополнительный к элементу а рк не изменится. Всего будет сделано (р – 1) перестановка строк. Если новый определитель обозначить D 1 , то D = (-1) р-1 ×D. В определителе D 1 переставим к -ый столбец последовательно с каждым предыдущим столбцом, при этом будет сделано (к – 1) перестановка столбцов и минор, дополнительный к а рк , не изменится. Получится определитель

D 2 = . Очевидно, D 2 = (-1) р-1 ×D 1 = (-1) р+к-2 ×D = (-1) р+к ×D. По лемме 1, D 2 = а рк ×М рк. Отсюда D = а рк × (-1) р+к × М рк = а рк ×А рк.

Теорема 3. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на их алгебраические дополнения, т.е. D = а к1 А к1 + а к2 ×А к2 +…+а kn ×А kn (10).

Доказательство. Пусть D = . Элементы к-ой строки запишем в виде а к1 =а л1 + 0 + …+ 0, а к2 = 0 + а к2 + 0 + … + 0, … , а = 0 + 0 + …+ 0 + а . Используя свойство 6 0 , получим, что D =
= = а к1 А к1 + а к2 А к2 + … + а А (использовали лемму 2).

Теорема 4. Сумма произведений элементов одной строкиопределителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство. Пусть D = . По предыдущей теореме

D = . Если взять , то в определителе Dбудет две одинаковые строки, т.е. D будет равен нулю. Следовательно, 0 = , если р ¹ к.

Замечание. Теоремы 3 и 4 будут верны, если в их формулировках слово «строка» заменить на слово «столбец».

Способ вычисления определителя n-го порядка.

Для вычисления определителя n -го порядка достаточно в какой-нибудь строке (или столбце) получить как можно больше нулей, используя свойство 7 0 , а потом использовать теорему 3. При этом вычисление определителя n-го порядка сведётся к вычислению определителя (n – 1)-го порядка.

Пример. Вычислите определитель D = .

Решение. Получим нули во второй строке. Для этого второй столбец 1) умножим на (-2) и прибавим к первому столбцу; 2) прибавим к третьему столбцу; 3) умножим на (-4) и прибавим к четвёртому столбцу. Получим, что D = . Разложим полученный определитель по элементам второй строки. При этом произведения всех элементов этой строки на их алгебраические дополнения, кроме элемента 1, равны нулю. Для того, чтобы получить алгебраическое дополнение для элемента 1, нужно вычеркнуть те строку и столбец, где этот элемент стоит, т.е. вторую строку и второй столбец. Знак алгебраического дополнения определяет (-1) 2+2 = (-1) 4 = +1. Итак, D = + . Получили определитель 3-го порядка. Этот определитель можно вычислить, используя диагонали и треугольники, но можно свести к определителю второго порядка. Умножим первый столбец 1) на (-4) и прибавим ко второму столбцу, 2) умножим его на 2 и прибавим к третьему столбцу. Получим, что

D = . Следовательно, D = (-1) 2+1 . Используя свойство 7 0 , прибавим к первому столбцу второй, получим D = - = -3×(23 – 40) = 51.

Некоторые определители (например, такие, в которых стоят «большие» миноры, целиком состоящие из нулей) удобно разлагать по нескольким строкам. Это позволяет делать теорема Лапласа. Пусть в определителе D выделен минор М s-го порядка, элементы которого стоят на строках с номерами к 1 ,к 2 ,…,к s и на столбцах с номерами р 1 ,р 2 ,…,р s . Вычеркнем строки и столбцы с указанными номерами. После этого останется определитель (n – s )-го порядка. Его называют минором М 1 , дополнительным к минору М. Если s = к 1 +…+ к s + р 1 +…+р s , то

алгебраическим дополнением к минору М называется А = (-1) s ×М 1 .

Теорема 5 (теорема Лапласа). Пусть в определителе n -го порядка выделены к строк (или столбцов). Определитель равен сумме произведений всех миноров, стоящих на выделенных строках, на их алгебраические дополнения.

Доказательство

(разложение по элементам i -й строки);

(разложение по элементам j -го столбца).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки

Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.

Теорема 6 (теорема Крамера). Если в системе линейных уравнений число неизвестных равно числу уравнений и определитель D системы отличен от нуля, то система имеет решение и только одно. Это решение получается по формулам , где каждое D к получается из D заменой к-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Пусть дана система и D ¹ 0. Умножим первое уравнение на А 1к, второе – на А 2к, … ,n- ое уравнение – на А nк и все уравнения сложим. Получим +… ... + + … + =

Используя теоремы 3 и 4, получим х 1 ×0 + … + х к ×D + … + х n ×0 = D к , где D к = (к-ый столбец в определителе D заменён столбцом свободных членов уравнений данной системы). Отсюда = для всех к = 1, 2, …, n .

Рассмотрим квадратную таблицу А.

Определение. Определителем n-го порядка называется число, полученное из элементов данной таблицы по следующему правилу:

1 .Определитель n-го порядка равен алгебраической сумме n! членов.

Каждый член представляет собой произведение n-элементов взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы.

2 .Член берется со знаком плюс, если перестановки образованные первыми и вторыми индексами элементов , входящие в произведения одинаковой четности (либо обе четные, либо нечетные) и со знаком минус в противоположном случае.

Определитель обозначается символом:

или краткоdet A=.(детерминант А)

Согласно определению = -.

Правило вычисления определителя 3ого порядка:

=

Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дан определитель n-го порядка (n>1)

Определение 1. Минором элементаопределителяn-го порядка называется определитель (n-1)-ого порядка полученный из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент .

Например:

=

Определение 2 . Алгебраическим дополнением элемента называется число

Основные свойства определителей n-го порядка

1.О равносильности строк и столбцов.

Величина определителя n-го порядка не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами.

2.Если у определителей поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

= k

Если все элементы какой-либо строки (или столбца) определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя.

4.Величина определителя равна нулю, если все элементы какой-либо его строки нули (или столбца).

5.Определитель с двумя пропорциональными строками равен 0.

Например:

6.Величина определителя не изменится, если к его элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

7.Если элементы какой-либо строки i определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки кроме i-й такие же, как в заданном определителе, а i-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых, а второго из вторых.

8.Определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения.

=

9.Сумма произведений всех элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Например:

=

Теорема Лапласа

Теорема. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), 1.Тогда сумма произведений всех миноровk-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.

Следствие . Частный случай теоремы Лапласа - разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть - квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по i-й строке:

Разложение по j-й строке:

где - алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Примеры для самостоятельного решения .

1.Найти х из уравнений и проверить подстановкой корень в определитель.

а); б)

Определитель n-го порядка

Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

И вычисляемым по данным числам (действительным или комплексным) - элементам определителя

Схемы вычисления определителей 2-ого и 3-его порядков

Теорема Крамера.

Пусть (дельта)-определитель матрицы системы А,а (дельта)i-определитель матрицы,получается из матрицы А заменой j-го столбца столбцов свободных чисел.Тогда,если (дельта) не равна 0,то система имеет единственное решение,определяемое во формуле:

1.Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле

2. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).

Свойство определителей

1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей,то её определитель равен 0.

2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на чило (лямбда),то её определитель умножится на это число (лямбда).

3.При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

Транспонирование -в математике,это преобразование квадратной матрицы-замена столбцов на строки или наоборот.

4.При перестановки двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

5.Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца),то её определитель равен 0

6.Если элементы двух строк (столбцов)матрицы пропорциональны,то её определитель равен 0

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равно 0

8.Определитель матрицы не изменяется,если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца),предварительно умноженные на одно и то же число.

9.Сумма произведений чисел b1,b2,...,bn на алгебраические дополнение элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы,полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) b1,b2,...bn.

10.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей |C|=|А|*|B|,где С=А*В;А и В-матрицы n-го порядка.

Определители, их свойства и вычисление

1.Определители второго и третьего порядков; их вычисление .

Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки

Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки

Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали .

Определители n-го порядка; миноры и алгебраические дополнения. Свойства и вычисление определителей n-го порядка.

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице
, называется алгебраическая сумма слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае.
Замечание: Объясним это определение на примере определителя третьего порядка, для которого уже известна формула вычисления.
.
1) «алгебраическая сумма слагаемых» - . И да, действительно, здесь шесть слагаемых.
2) «слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца» - рассмотрим например слагаемое . Его первый множитель взят из второй строки, второй – из первой, а третий из третьей. То же самое и со столбцами – первым множитель из первого столбца, второй из третьего, а последний из второго.
3) «причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае» - рассмотрим для примера слагаемые (со знаком плюс) и (со знаком минус).

Составим перестановки так, что в первой строке будут номера строк сомножителей, а во второй – номера столбцов.
Для слагаемого : (первый столбец – индекс первого сомножителя и т.д.)
Для слагаемого : .
Определим четность этих перестановок:
а) - элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара,
3 левее 1 – одна пара.
Итого две пары, т.е. количество пар четно, значит перестановка четная, а значит, слагаемое должно входить в сумму со знаком плюс (как оно и есть на самом деле).
б) - элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара.
Итого, количество пар чисел, стоящих так, что большее левее меньшего – 1 шт., т.е. нечетно, а значит и перестановка называется нечетной, и соответствующее слагаемое должно входить в сумму со знаком минус (да, это так).

Минором элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.