Сложение токов. Задача на последовательное соединение проводников

Несколько примеров с цепями переменного тока

Давайте соединим последовательно три источника переменных напряжений, и используя комплексные числа определим общее напряжение цепи. Все правила и законы, полученные при исследовании цепей постоянного тока, применимы и к цепям переменного тока (Закон Ома, законы Кирхгофа, методы анализа цепей). Исключение составляет только расчет мощности (Закон Джоуля). Единственным условием здесь является то, что все переменные должны быть выражены в комплексной форме, учитывающей фазу и величину, а также все напряжения и токи должны иметь одинаковую частоту (для того, чтобы их фазовые соотношения оставались неизменными).

Полярности всех трех источников ориентированы таким образом, что их напряжения нужно сложить, чтобы получить общее напряжение на нагрузочном резисторе. Обратите внимание, что на каждом из источников переменного напряжения обозначены величина и фазовый угол, но ни на одном из них не указано значение частоты. В любом из подобных случаев предполагается, что все частоты одинаковы, а это отвечает нашему условию для применения правил постоянного тока в цепях переменного тока (все цифры, приведенные в комплексной форме, имеют одинаковую частоту). Уравнение для расчета общего напряжения в нашем случае будет выглядеть следующим образом:

Графически, векторы складываются как показано на рисунке ниже:

Сумма этих векторов будет равна результирующему вектору, который начинается в исходной точке 22-вольтового вектора (в верхней левой части графика) и заканчивается в конечной точке 15-вольтового вектора (конец стрелки справа посередине графика):

Чтобы рассчитать величину и угол результирующего вектора без использования графиков, можно преобразовать полярные формы комплексных чисел в алгебраические и сложить их. Помните, операцию сложения к полученным цифрам мы применяем потому, что полярности трех источников напряжения ориентированы именно для этой математической операции:

В полярной форме данное число будет эквивалентно значению 36.8052 вольт ∠ -20.5018 o . В реальности это означает, что общее напряжение цепи (равное 36,8052 вольт) отстает от 15-вольтового источника напряжения (фаза которого равна 0 и служит точкой отсчета) на 20.5018 o . Если для измерения общего напряжения мы подключим вольтметр к реальной схеме, то он покажет только полярную величину (36,8052 вольт), но никак не фазовый угол. Что касается угла, то здесь вы можете использовать осциллограф, который способен показать две волны и таким образом обеспечить наглядное отображение изменения фазы. Этот же принцип относится и к амперметрам: они показывают только полярную величину тока, а не фазовый угол.

Все, что мы с вами рассмотрели крайне важно для расчета величин напряжений и токов в реальных схемах. Несмотря на то, что алгебраическая форма представления очень удобна для сложения и вычитания, она не очень применима для практических измерений. Алгебраические значения нужно преобразовать в полярные, прежде чем связать их с измерениями реальных схем.

Можно воспользоваться программой SPICE, чтобы проверить точность наших расчетов. В данной тестовой схеме сопротивление резистора (10 кОм) выбрано совершенно произвольным образом. Резистор нам нужен для того, чтобы программа не сигнализировала об обрыве цепи, и не прерывала анализ. Кроме того, выбор частоты для моделирования (60 Гц) так же является произвольным, поскольку резисторы одинаково реагируют на разные частоты переменного тока и напряжения. Существуют и другие компоненты (в частности, конденсаторы и катушки индуктивности), которые по-разному реагируют на различные частоты, но эту тему мы рассмотрим несколько позже.

Ac voltage addition v1 1 0 ac 15 0 sin v2 2 1 ac 12 35 sin v3 3 2 ac 22 -64 sin r1 3 0 10k .ac lin 1 60 60 Используем частоту 60 Гц.print ac v(3,0) vp(3,0) в качестве значения по умолчанию.end freq v(3) vp(3) 6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01

Как видите, мы получили общее напряжение 36,81 вольт ∠ -20.5 o (относительно 15-вольтового источника напряжения, фазовый угол которого произвольно заявлен равным нулю градусов, и служит точкой отсчета).

На первый взгляд все это кажется нелогичным. Как вообще можно получить общее напряжение 36,81 вольт из последовательно соединенных 15, 12 и 22 вольт? С постоянными напряжениями это было бы невозможно, так как величины таких напряжений либо непосредственно складываются, либо непосредственно вычитаются (в зависимости от полярности). В отличии от постоянных, переменные напряжения ведут себя несколько иначе. Их "полярность" (фазовый сдвиг) может варьироваться в любом соотношении между полным содействием и полным противостоянием, что и приводит к такому парадоксальному суммированию.

Давайте посмотрим, что будет, если мы возьмем ту же самую схему, и "перевернем" один из источников переменного напряжения. Его вклад в общее напряжение будет противоположен тому, что был раньше:

Обратите внимание на то, что фазовый угол 12-вольтового источника напряжения по-прежнему имеет обозначение 35 o , хотя его подключение было изменено на противоположное. Как вы помните, фазовый угол любого напряжения берется относительно маркировки его полярностей. Даже при том, что угол данного напряжения имеет обозначение 35 о, его вектор будет развернут на 180 о по отношению к предыдущему случаю:

Результирующий вектор здесь будет начинаться в исходной точке 22-вольтового вектора (в верхней левой части графика) и заканчивается в конечной точке 15-вольтового вектора (конец стрелки справа внизу графика):

В полярной форме разворот полярностей 12-вольтового источника напряжения можно представить двумя различными способами: путем добавления 180° к его векторному углу (что дает нам 12 вольт ∠ 215 o) или изменением знака на противоположный (что дает нам -12 вольт ∠ 35 o). Преобразование любого из этих значений в алгебраическую форму даст нам одинаковый результат:

Результирующая сумма напряжений в алгебраической форме представления (в данном случае) будет следующей:

В полярной форме это значение будет эквивалентно 30,4964 В ∠ -60.9368 o . Давайте еще раз используем программу SPICE для проверки результатов наших расчетов:

Ac voltage addition v1 1 0 ac 15 0 sin v2 1 2 ac 12 35 sin Обратите внимание, узлы 2 и 1 поменяны местами, v3 3 2 ac 22 -64 sin что имитирует смену полярностей r1 3 0 10k .ac lin 1 60 60 .print ac v(3,0) vp(3,0) .end freq v(3) vp(3) 6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01

Включим в цепь переменного тока две параллельные ветви, содержащие активные сопротивления и и амперметры и , измеряющие токи и в этих ветвях (рис. 301). Третий амперметр А измеряет ток в неразветвленной цепи. Положим сначала, что оба сопротивления и представляют собой лампочки накаливания или реостаты, индуктивным сопротивлением которых можно пренебречь по сравнению с их активным сопротивлением (рис. 301, а). Тогда, так же как и в случае постоянного тока, мы убедимся в том, что показание амперметра равно сумме показаний амперметров и , т. е. . Если сопротивления и представляют собой реостаты, то, изменяя их сопротивления, мы можем как угодно изменять каждый из токов и , но равенство всегда будет сохраняться. То же будет иметь место и в том случае, если мы заменим оба реостата конденсаторами, т. е. если оба сопротивления будут емкостными (рис. 301, б), или в том случае, если оба сопротивления являются индуктивными, т. е. реостаты заменены катушками с железным сердечником, индуктивное сопротивление которых настолько больше активного, что последним можно пренебречь (рис. 301, в).

Рис. 301. Сопротивления в параллельных ветвях цепи переменного тока одинаковы по своей природе

Таким образом, если сопротивления параллельных ветвей одинаковы по своей природе, то ток в неразветвленной цепи равен сумме токов в отдельных ветвях. Это справедливо, конечно, и в том случае, когда имеются не две ветви, а любое их число.

Заменим теперь в одной из ветвей (рис. 302, а и б) активное сопротивление емкостным (конденсатором) или индуктивным (катушкой с большой индуктивностью и малым активным сопротивлением). Опыт дает в этом случае результат, кажущийся на первый взгляд странным: ток в неразветвленной цепи оказывается меньшим, чем сумма токов в обеих ветвях: . Если, например, ток в одной ветви равен 3 А, а в другой – 4 А, то амперметр в неразветвленной цепи покажет не ток 7 А, как мы ожидали бы, а только ток 5 А, или 3 А, или 2 А и т. д. Ток будет меньше суммы токов и и тогда, когда сопротивление одной ветви емкостное, а другой – индуктивное (рис. 302, в).

Рис. 302. Сопротивления в параллельных ветвях переменного тока различны по своей природе

Таким образом, если сопротивления параллельных ветвей различны по своей природе, то ток в неразветвленной цепи меньше суммы токов в отдельных ветвях.

Чтобы разобраться в этих явлениях, заменим в схемах на рис. 301 и 302 амперметры осциллографами и запишем форму кривой тока в каждой из параллельных ветвей. Оказывается, что токи разной природы в каждой из ветвей не совпадают по фазе ни друг с другом, ни с током в неразветвленной цепи. В частности, ток в цепи с активным сопротивлением опережает по фазе на четверть периода ток в цепи с емкостным сопротивлением и отстает по фазе на четверть периода от тока в цепи с индуктивным сопротивлением.

В этом случае кривые, изображающие форму тока в неразветвленной цепи и в какой-нибудь из ветвей, расположены относительно друг друга так, как кривые 1 и 2 на рис. 294. В общем же случае, в зависимости от соотношения между активным и емкостным (или индуктивным) сопротивлениями каждой из ветвей, сдвиг фаз между током в этой ветви и неразветвленным током может иметь любое значение от нуля до . Следовательно, при смешанном сопротивлении разность фаз между токами в параллельных ветвях цепи может иметь любое значение между нулем и .

Это несовпадение фаз токов в параллельных ветвях с сопротивлениями, различными по своей природе, и является причиной тех явлений, о которых было сказано в начале этого параграфа. Действительно, для мгновенных значений токов, т. е. для тех значений, которые эти токи имеют в один и тот же момент времени, соблюдается известное правило:

Но для амплитуд (или действующих значений) этих токов это правило не соблюдается, потому что результат сложения двух синусоидальных токов или иных двух величин, изменяющихся по закону синуса, зависит от разности фаз между складываемыми величинами.

В самом деле, предположим для простоты, что амплитуды складываемых токов одинаковы, а разность фаз между ними равна нулю. Тогда мгновенное значение суммы двух токов будет равно просто удвоенному значению мгновенного значения одного из складываемых токов, т. е. форма результирующего тока будет представлять собой синусоиду с тем же периодом и фазой, но с удвоенной амплитудой. Если амплитуды складываемых токов различны (рис. 303, а), то сумма их представляет собой синусоиду с амплитудой, равной сумме амплитуд складываемых токов. Это имеет место, когда разность фаз между складываемыми токами равна нулю, например когда сопротивления в обеих параллельных ветвях одинаковы по своей природе.

Рис. 303. Сложение двух синусоидальных переменных токов. Складываемые токи: а) совпадают по фазе (); б) противоположны по фазе, т. е. сдвинуты во времени на половину периода (); в) сдвинуты во времени на четверть периода ()

Рассмотрим теперь другой крайний случай, когда складываемые токи, имея равные амплитуды, противоположны по фазе, т. е. разность фаз между ними равна . В этом случае мгновенные значения складываемых токов равны по модулю, но противоположны по направлению. Поэтому их алгебраическая сумма будет постоянно равна нулю. Таким образом, при сдвиге фаз на между токами в обеих ветвях, несмотря на наличие токов в каждой из параллельных ветвей, в неразветвленной цепи тока не будет. Если амплитуды обоих смещенных на токов различны, то мы получим результирующий ток с той же частотой, но с амплитудой, равной разности амплитуд складываемых токов; по фазе этот ток совпадает с током, имеющим большую амплитуду (рис. 303, б). Практически этот случай имеет место тогда, когда в одной из ветвей имеется емкостное, а в другой – индуктивное сопротивление.

Переменный ток может быть получен в простейшем генераторе с обмоткой из одного витка и с одним двухполюсным магнитом.

В реальных генераторах обмотка, конечно, имеет не один, а много витков. Магнитное поле создается, как правило, не магнитом, а электромагнитом. Число его полюсов может быть больше двух. Кроме того, в одних исполнениях генераторов магнит 1 неподвижен, а обмотка 2 вращается (рисунок 1, а ), в других – обмотка 2 неподвижна, магнит 1 вращается (рисунок 1, б ), что для конструирования и обслуживания весьма существенно, но принципиально совершенно безразлично. Почему? Потому, что для генерирования переменной электродвижущей силы (э. д. с.) важно лишь, чтобы витки обмотки пересекались магнитными силовыми линиями, а это в равной степени достигается как в том, так и в другом случае.

Рисунок 1. Принцип получения переменного тока в генераторах

При вращении обмотки (магнита) она (он) последовательно во времени занимает различные положения относительно магнитного поля (обмотки).
Сначала обмотка, плоскость которой перпендикулярна магнитному полю, находится на нейтрали, то есть между полюсами, как показано на рисунке 2, а . При этом проводники как бы скользят вдоль силовых линий и э. д. с. в них не возникает. Затем один проводник (его торец красный) приближается к северному полюсу N , а другой (зачерненный) к южному S (рисунок 2, б ) и, наконец, они проходят под полюсами (рисунок 2, в ). В этом положении проводники движутся перпендикулярно силовым линиям: э. д. с. достигает своего наибольшего значения. В проводниках, находящихся под разными полюсами, э. д. с. направлены различно: в одном из них – за плоскость чертежа, в другом – на нас. Но проводники, образующие виток, соединены друг с другом таким образом, что их э. д. с. складываются.

Рисунок 2. Изменение э. д. с. в течение одного периода

Продолжая движение, проводник, который ранее проходил под северным полюсом, приближается к южному (рисунок 2, е ); проводник, который был под южным полюсом, приближается к северному: направление э. д. с. меняется на обратное. Под полюсами (рисунок 2, ж ) э. д. с. снова достигает наибольшего значения, но она отрицательна.

Наконец проводники удаляются от полюсов (рисунок 2, з ) и опять выходят на нейтраль (рисунок 2, и ): э. д. с. равна нулю. Далее при каждом обороте все периодически повторяется в той же последовательности.

Видео 1. Получение переменного электрического тока

Период и частота

Время Т , затрачиваемое на полный цикл изменений переменного тока, после чего все начинается вновь, называется периодом. Частота f – число периодов в секунду. Частота 50 периодов в секунду, с которой в нашей стране работают все электростанции, питающие осветительные и промышленные установки, называется промышленной частотой. Ее период равен 1 с: 50 = 0,02 с.

Синусоида

Кривая на рисунке 2 – синусоида показывает, что э. д. с. непрерывно изменяется, причем число ее мгновенных значений в течении периода безгранично: их столько же, сколько точек может поместится на синусоиде. В течение периода мгновенные одинаковые значения э. д. с. одного знака бывают дважды. За период э. д. с. 2 раза достигает наибольших (максимальных, амплитудных) значений, но один раз это положительное, другой раз – отрицательное значение. Одним словом, по синусоиде можно составить самое полное представление об изменениях синусоидальной э. д. с. (тока) с течением времени.

Видео 2. Синусоида

Как строят синусоиды показывает рисунок 3. По горизонтальной оси откладывают либо время, возрастающее слева направо, либо углы поворота обмотки (магнита), которые отсчитывают от некоторого положения, принятого за начальное. По вертикальной оси откладывают значения э. д. с., тока или другой периодической величины, пропорциональные синусам углов поворота. Углы могут измеряться в градусах или радианах. На рисунке 3 время дано в долях периода: Т /4, Т /2, ¾ Т , Т ; показаны также углы поворота: 0, 30, 60, 90, …, 360°. Надо иметь ввиду, что в двухполюсных генераторах период соответствует полному обороту, то есть совершается на 360°, или 2π радиан, то есть для того, чтобы один из проводников обмотки, выйдя из под северного (южного) полюса, возвратился к нему же, он должен повернуться на 360°. Поэтому на рисунке 3, который построен для двухполюсного генератора, период Т соответствует 360°, полупериод Т /2 180°, четверть периода Т /4 90° и так далее.

Рисунок 3. Техника построения синусоиды

В многополюсных генераторах электрические и геометрические градусы не совпадают, потому, что одноименные полюсы, например северные, расположены друг к другу ближе: в четырехполюсном генераторе на расстоянии 180°, в шестиполюсном – на расстоянии 120° и так далее. А так как независимо от числа полюсов все генераторы дают ток одной и той же промышленной частоты, то есть имеют одинаковые периоды, роторы генераторов должны совершать за одно и тоже время разные пути: оборот, половину оборота, треть оборота и так далее. Поэтому роторы генераторов имеют разные частоты вращения, то есть вращаются с разными частотами вращения (скоростями): самые быстроходные – двухполюсные (3000 об/мин), четырехполюсные делают 1500 об/мин, шестиполюсные 1000 об/мин и так далее.

Отметим одно исключительно важное обстоятельство: синусоида является периодической кривой, то есть не имеет ни конца, ни начала, и потому вовсе не обязательно рисовать ее, начиная с 0°. С равным успехом можно начинать и с 30, 47, 122 (-60°) и так далее. Но так как в этих случаях отсчет начнется позже или раньше, то заканчивать его нужно на столько же позже или раньше.

Если в генераторе имеется одна, а несколько обмоток и если они одинаковы по конструкции, числу витков, сечению провода, то синусоиды, изображающие изменение э. д. с. в каждом из них, одинаковы. Однако располагать их на чертеже нужно в соответствии как со взаимным расположением обмоток, так и с направлением вращения. Поясним на примерах.

Рисунок 4. Расположение синусоид на чертежах в зависимости от направления вращения ротора генератора

На рисунке 4 показан генератор с двумя обмотками ax и by , которые размещены в одних и тех же пазах и, следовательно, одинаково перемещаются относительно магнита. Поэтому синусоиды, изображающие изменение э. д. с. в обеих обмотках, совпадают. Но если вращение происходит против часовой стрелки, наблюдение за изменениями э. д. с. начинается в тот момент, когда обмотки занимают положение, показанное на чертеже, и синусоиды начерчены, как на рисунке 4, а , то при вращении по часовой стрелке синусоиды изображают иначе (рисунок 4, б ). Почему? Потому, что в первом случае проводники раньше проходят под северным полюсом, во втором – раньше под южным.

Рисунок 5. Сдвиг э. д. с. двух обмоток на четверть периода

Генератор на рисунке 5, а тоже имеет две обмотки, но расположенные под прямым углом. Поэтому они проходят под полюсами неодновременно . Значит, максимальные значения э. д. с. в них наступают в разное время и, следовательно, синусоиды должны быть сдвинуты. Остается выяснить, на какую часть периода и в какую сторону. Решают эти вопросы следующим образом.

1. Синусоиду э. д. с. одной обмотки, например ax , располагают на чертеже произвольно и через точку 0 , от которой в дальнейшем будет вестись отсчет времени, проводят вертикаль 1 –1 (рисунок 5, б ).
2. Определяют по рисунку 5, а , какому положению проводника соответствует точка 0 и где в это время находится проводник b : опережает он проводник a по направлению вращения или отстает от него. В нашем случае проводник b опережает проводник a . Действительно, последний еще на нейтрали, э. д. с. в нем равна нулю, а проводник b – уже под полюсом и его э. д. с. достигла максимума.
3. Определяют, какой знак имеет э. д. с. в обмотке by в точке 0 , чтобы знать, как начинать построение синусоиды э. д. с. обмотки by в точке 0 – под горизонтальной осью или на ней. Если обмотка by находится в области того же полюса, к которому при вращении приближается обмотка ax , значит знаки у э. д. с. одинаковы. В нашем примере э. д. с. обмотки ax положительна и обе обмотки находятся в области одного и того же полюса. Поэтому синусоида э. д. с. обмотки by в точке 0 тоже должна быть положительна.
4. Определяют на какую часть периода обмотка by сдвинута относительно обмотки ax . Это видно из рисунка 5, а и г , на которых представлены соответственно двухполюсный и четырехполюсный генераторы. Длительность периода Т в любом случае определяется расстоянием между одноименными полюсами и частотой (скоростью) вращения. Нетрудно видеть, что расстояние между началами обмоток, то есть между проводниками a и b , равно четверти периода.
5. Остается совместить синусоиды э. д. с. Обмоток ax и by , что сделано на рисунке 5, д , где ясно виден сдвиг между ними на четверть периода Т /4, или на 90 электрических градусов.

Генератор с тремя обмотками ax , by и cz показан на рисунке 6. Обмотки равномерно распределены по окружности, то есть сдвинуты друг относительно друга на треть периода Т /3 или на 120 эл. градусов. При данном расположении обмоток и вращении против часовой стрелки э. д. с. обмотки ax опережает на Т /3 э. д. с. обмотки by , которая в свою очередь опережает на Т /3 э. д. с. обмотки cz .

Рисунок 6. Электродвижущие силы трех обмоток, сдвинутых на треть периода

Каждая обмотка генератора (трансформатора, электродвигателя переменного тока) обычно называется фазой .

Генераторы с одной обмоткой являются однофазными, с двумя обмотками – двухфазными, с тремя – трехфазными и так далее. Если э. д. с. в разных обмотках достигают нулевых (или максимальных) значений в разное время, то говорят, что между фазами существует сдвиг , который определяют в долях периода или электрических градусах.

Фаза

Выше уже указывалось, что обмотки генераторов, трансформаторов и электродвигателей называют фазами. Но слово "фаза" в электротехнике употребляют еще в нескольких значениях.

Фазами также называют провода трехфазных линий в отличие от нулевого провода. Фазы обозначают буквами A , B , C (a , b , c ) или Ж , З , К , так как на электростанциях и подстанциях шины, принадлежащие разным фазам окрашивают желтой, зеленой и красной красками. Нуль обозначают цифрой 0 , а иногда буквой N (нейтраль).

Фазой в широком смысле этого слова называется отдельный момент в развитии какого-либо явления. В периодических процессах (к которым относятся и изменения э. д. с. и тока) фазой называется значение величины, характеризующей состояние колебательного процесса в каждый момент времени.

Таким образом, фазой можно назвать и угол поворота обмотки (так как каждому углу соответствует определенное значение э. д. с.) и время, прошедшее от начала периода. Начало периода, когда э. д. с. равна нулю, часто называют нулевой фазой.

Фазовые углы, определяющие значения э. д. с. или тока в начальный момент (с которого начинается рассмотрение процесса изменение э. д. с. или тока), называются начальными фазами .

Важно понять, что определяя сдвиг по фазе между двумя э. д. с. или токами, нужно всегда определять его между одинаковыми фазами рассматриваемых величин. Например, сдвиг α между нулевыми фазами (рисунок 7, а ) и между фазами в Т /5 (рисунок 7, б ) одинаков.

Рисунок 7. Определение величины сдвига фаз

Если нужно определить, опережает одна синусоида другую или отстает от нее, поступают следующим образом.

Через нулевую фазу 0 1 одной синусоиды (ax ) проводят вертикаль 1 –1 до пересечения со второй синусоидой (by ) (рисунок 8, а ). Если вертикаль пересекает синусоиду выше горизонтальной оси, значит вторая синусоида опережает первую; если ниже – отстает . Действительно, вертикаль 1 –1 , проведенная через нулевую фазу синусоиды ax , пересекает by выше горизонтальной оси и, стало быть, by опережает ax . Но если by опережает ax , то ax отстает от by . В этом легко убедиться, проведя вертикаль 2 –2 (рисунок 8, б ) через нулевую фазу by , которая пересекает отстающую синусоиду ax ниже горизонтальной оси.

Рисунок 8. Определение направления сдвига фаз

Вращение фаз

Вращением фаз называют последовательность, в которой в обмотках разных фаз э. д. с. (токи) достигают с течением времени максимальных значений. Если вращение ротора генератора происходит против часовой стрелки, как показано на рисунке 6, то фазы вращаются в направлении ax , by , cz . Если изменить направление вращения ротора, то изменится и направление вращения фаз: они станут вращаться в обратном направлении, то есть ax , cz , by .

Векторы

В технике переменных токов периодические изменения э. д. с. (токов) часто изображают векторами, то есть отрезками прямой определенной длины и определенного направления.

Для определения мгновенных значений вектор должен иметь длину, соответствующую максимальному значению э. д. с. Его начальная фаза совпадает с направлением горизонтальной оси. Затем вектор вращают против часовой стрелки и проектируют на неподвижную вертикальную ось. Длины проекций и определяют мгновенные значения э. д. с. для каждого угла поворота, что иллюстрирует рисунок 9. На рисунке 9 изменения э. д. с. представлены как синусоидой, на которой отмечены мгновенные значения э. д. с. через каждую восьмую часть периода, так и проекциями вектора на ось для тех же долей периода.

Рисунок 9. Определение мгновенных значений э. д. с. при вращении вектора

Определение сдвига фаз

Для определения сдвига фаз между двумя и более э. д. с. каждую из них изображают вектором. Начала векторов совмещены. Угол между ними определяет сдвиг фаз. Определение сдвига фаз является одной из важнейших задач техники многофазных переменных токов.

Техника построения векторов для двух э. д. с. поясняется рисунком 10, а . Слева на нем изображены синусоиды и ясно видно, что э. д. с. e 2 опережает e 1 на угол α. Справа э. д. с. e 1 изображена вектором E 1М, который расположен горизонтально (то есть так, чтобы его проекция на ось 1 –1 была равна мгновенному значению e 1 в точке 0 ) и стрелкой показано направление вращения 1 . Затем по этому направлению отложен угол α и построен вектор э. д. с. E 2М.

Рисунок 10. Определение сдвига фаз при помощи вектора

Построение можно выполнить иначе. После построения вектора E 1М (который расположен горизонтально) через точку пересечения синусоиды e 2 с вертикалью 2 –2 проведена горизонтальная штриховая линия (она отсекает мгновенное значение э. д. с. e 2 , соответствующее точке 0 ). Затем радиусом длиной E 2М из точки 0 " как из центра сделана засечка, после чего построен вектор E 2М. При таком построении угол α получается автоматически.

Примеры векторных диаграмм (то есть совокупности векторов, изображающих синусоидальные величины одинаковой частоты для различных углов сдвига фаз между e 1 и e 2) даны на рисунке 10, б –е .

Обратите особое внимание на рисунок 10, е , который соответствует рисунку 10, г и показывает, что как бы ни располагалась на чертеже векторная диаграмма, сдвиг фаз от этого на ней не изменяется и это весьма важно.

Можно ли изображать векторами действующие (эффективные) значения э. д. с. и токов?

Этот важный вопрос вызывает обычно недоумение. Ответить на него можно следующим образом.

Если нужно определять мгновенные значения синусоидальной величины, то удобнее брать вектор, изображающий ее максимальное значение, потому, что именно его проекция на ось дает мгновенные значения. Но в практической деятельности обычно имеют дело не с мгновенными, а с действующими 2 значениями, например говорят 220 В, понимая под этим действующее значение и не думая ни о максимальных значениях, которые на 41% больше, ни о других мгновенных значениях. Поэтому векторные диаграммы обычно строят для действующих значений. При этом углы сдвига фаз между током, э. д. с., напряжением и тому подобными видны совершенно отчетливо, а результаты сложения и вычитания векторов непосредственно получаются в действующих значениях, что удобно.

В электроустановках, в которых действует несколько э. д. с., они в зависимости от способа соединения могут либо складываться, либо вычитаться. Это же относится к токам в местах разветвлений.

В цепях постоянного тока сложение и вычитание производят алгебраически. Это значит, что если одна э. д. с. равна 5 В, а другая 18 В, то их сумма составляет 5 + 18 = 23 В, а разность 5 – 18 = –13 В. Знак минус указывает на изменение направления тока на обратное по сравнению с тем, которое было бы только от одной э. д. с. 5 В.

В цепях переменного тока сложение и вычитание производятся более сложно.

Чтобы сложить две синусоиды e 1 и e 2 нужно: а) пересечь их в нескольких местах вертикалями 0, 1, 2, 3, 4, 5 … и так далее, на которых синусоиды отсекут мгновенные значения э. д. с. (рисунок 11, а ); б) попарно алгебраически сложить мгновенные значения и полученные суммы, представляющие собой мгновенные значения суммарной э. д. с., отложить на тех же вертикалях (рисунок 11,б ); в) соединить плавной кривой вершины суммарных мгновенных значений, получив, таким образом, суммарную синусоиду из другой, например e 1 + e 2 .

Рисунок 11. Сложение и вычитание синусоид

Чтобы вычесть одну синусоиду из другой, например e 1 из e 2 (рисунок 11, а ), нужно вычитаемой синусоиде дать обратный знак, то есть попросту начертить ее зеркальное изображение –e 1 (рисунок 11, в ). Затем синусоиды e 2 и –e 1 складывают (рисунок 11, г ), как описано выше. Одним словом, вычитание синусоид основывается на известном правиле, которое гласит, что вычесть – все равно, что прибавить то же самое с обратным знаком.

На рисунке 12, а изображены три вектора A , B и C . На рисунке 12, б показано их сложение по правилу параллелограмма, а именно: сначала найдена сумма двух векторов A и B (B и C , A и C ), а затем к ней прибавлен вектор C (A , B ). Рисунок 12, в показывает другой способ сложения этих же векторов в четырех вариантах. Обратите внимание на направление вектора суммы. Сравнивая рисунки 12, б и в , легко видеть, что в любом случае получены одинаковые результаты.

Рисунок 12. Сложение и вычитание векторов

Для вычитания одного вектора из другого вычитаемый вектор поворачивают на 180° (то есть ему дают обратный знак), после чего по правилу параллелограмма производят сложение (рисунок 12, г ). Другой способ вычитания этих же векторов иллюстрирует рисунок 12, д . Заметьте: вектор-разность направлен к концу того вектора, из которого сделано вычитание. Так, на рисунке 12, д , слева, вектор-разность направлен к концу вектора B .

Трехфазная система

Наибольшее распространение в электротехнике получила симметричная трехфазная система э. д. с. Она представляет три одинаковые по частоте и амплитуде переменные э. д. с., между которыми существует сдвиг на 1/3 периода. Совокупность токов, возникающих под действием этих э. д. с., называется трехфазной системой токов или, как обычно говорят, трехфазным током.

Если нагрузки всех трех фаз во всех отношениях одинаковы (например, представляют собой обмотки трехфазного электродвигателя, или театральную люстру, в которой каждая из фаз питает одинаковое количество одинаковых ламп, или является трехфазной конденсаторной батареей и тому подобным), то трехфазная система токов будет симметричной. Это самый благоприятный и самый простой случай.

В симметричной системе значения токов всех фаз равны, токи одинаково сдвинуты относительно соответствующих напряжений, а между токами смежных фаз сдвиг равен 1/3 периода.

В практике же часто встречаются несимметричные нагрузки. Например, всегда существует несимметрия в осветительных сетях, значительную асимметрию создает электрическая тяга на переменном токе. Симметрия резко нарушается в аварийных режимах (короткое замыкание, обрыв одного провода, нарушение контакта в одной из фаз и тому подобное).

Трехфазный ток был изобретен в 1891 г. русским инженером М. О. Доливо-Добровольским и получил широчайшее распространение благодаря своим замечательным свойствам:
а) с помощью трехфазного тока можно передать энергию с затратой значительно меньшего количества проводникового материала, чем потребовалось бы при передаче однофазным током;
б) с помощью трехфазного тока в неподвижных обмотках электродвигателей создается вращающее магнитное поле, увлекающее за собой роторы самых простых по конструкции и самых распространенных асинхронных электродвигателей.

В зависимости от вида соединений трехфазных генераторов, трансформаторов и электроприемников можно получить те или иные практические результаты.

Видео 3. Получение электрической энергии переменного тока

1 В электротехнике мгновенные значения синусоидальных величин принято обозначать строчными (маленькими) буквами, в нашем примере e 1 и e 2: максимальные значения обозначаются прописными (большими) буквами с индексом "м", в нашем примере E 1М и E 2М.
2 Действующие значения обозначают прописными буквами без индекса "м": E , U , I .

Цепи переменного тока

В этой работе рассматриваются простейшие цепи переменного тока. Приведем перечень основных параметров переменного тока.

1. Мгновенное значение синусоидального сигнала:

где t - текущее время; А m - амплитуда; w - угловая частота.

Период Т , угловая частота w и циклическая частота F связаны соотношениями:

,

2. Действующие (эффективные) значения синусоидального тока и напряжения:

где I m U m - амплитуды тока и напряжения.

3. Средние значения синусоидального тока и напряжения за положительную полуволну:

Сложение и вычитание колебаний

При сложении двух колебаний синусоидальной формы

образуется синусоидальный сигнал той же частоты

Следует заметить, что формула для А m справедлива как для амплитудного, так и эффективного значения тока и напряжения, в чем нетрудно убедиться, подставив в эту формулу эффективные значения. Это замечание связано с тем, что далее мы будем пользоваться именно эффективными значениями токов, взятыми в данном случае из схемы на рисунке 1.

Определим в качестве примера сумму и разность двух синусоидальных токов

Используя приведенные выше формулы, для суммы токов получим:

откуда фаза В =-11,5°.

Для вычисления разности токов воспользуемся соотношением:

В этом случае вычитаемый ток

Таким образом, задача вычитания второго тока из первого сводится к суммированию с учетом проделанных преобразований. Для разности токов в таком случае получим:

Схема для моделирования суммирования и вычитания синусоидальных токов показана на рисунке 1. В ней использован источник переменного тока, в окне свойств которого можно задать частоту, ток и фазу в градусах. Однако задавать отрицательные значения фазы в программе не допускается. Поэтому для тока I2 задана начальная фаза 315°, поскольку sin(-45°)=sin(360°-45°). Для измерения токов в каждую ветвь включены амперметры в режиме измерения переменного тока (АС). Как видно из показаний амперметра, измеряющего ток Is, результаты суммирования токов совпадают с результатами расчетов.

Для измерения фазы использован осциллограф, в канале А которого регистрируется сигнал от источника I1 , создающий на резисторе R1 падение напряжение I1*R1=0,1*1000=100 В . Канал В осциллографа с помощью ключа Х может подключаться к резисторам R2, R3, сопротивления которых рассчитаны таким образом, чтобы токи I1, Is создавали на них падения напряжения тоже 100 В (для удобства проведения осциллографических измерений). Пользуясь переключателем X, можно контролировать фазовые соотношения между токами I1, I2, Is . В положении переключателя, показанном на рисунке 1, такие соотношения можно регистрировать между токами I1, Is.

Рисунок 1 – Схема суммирования и вычитания двух синусоидальных токов

Результаты осциллографических измерений, полученные при моделировании процесса суммирования двух синусоидальных токов, показаны на рисунке 2 (для повышения точности отсчета осциллограф включен в режиме ZOOM). Визирные линии поставлены в точки пересечения синусоидами оси времени (визирная линия 1 - для тока I1 , 2 - для тока Is ). Из правого цифрового табло отсчетов видно, что временной промежуток между визирными линиями составляет Т2-Т1=0,1125 с. Поскольку период колебаний исследуемых сигналов составляет Т=1 с (частота 1 Гц), то измеренный промежуток времени, пропорциональный разности начальных фаз токов I1, Is, в градусах может быть определен из очевидного соотношения:

В1-В= 360°(Т2-Т1)/Т= 360(0,1125)/1=40,5°=40°30",

откуда фаза суммарного тока В=- 10°30", что отличается от расчетного на 19". Эта разница (около 3%) объясняется погрешностью отсчета временного интервала при установке виз ирных линий (так называемая погрешность параллакса).

Рисунок 2 – Осциллограмма токов I1 (A) , Is (В)

Результаты моделирования вычитания токов приведены на рисунке 3, откуда видно, что они полностью совпадают с данными расчета. Обратите внимание, в схеме сопротивление резистора R3 изменено для удобства проведения осциллографических измерений.

Рисунок 3 – Схема вычитания двух синусоидальных токов

Сложение напряжений

Для примера выберем следующие величины напряжений

Схема измерений для этого случая показана на рисунке 4. Она выполнена в виде суммирующего устройства на операционном усилителе OU. Коэффициент передачи для каждого источника напряжения равен R/R1=R/R2 =1. По существу с помощью суммирующего усилителя процесс сложения напряжений сведен к процессу суммирования токов I1=U1/R1 и I2=U2/R2 на резисторе R . При этом справедливость приведенных формул обеспечивается тем, что потенциал точки А за счет большого коэффициента усиления ОУ практически равен нулю.

Рисунок 4 – Схема сложения двух синусоидальных напряжений

Контрольные вопросы и задания

1. Почему методы расчета цепей постоянного тока нельзя использовать для расчета цепей переменного тока? В каких случаях это можно делать?

2. Проведите расчеты и моделирование сложения двух синусоидальных токов при разности фаз токов 60°.

3. Проведите анализ фазовых соотношений в схеме на рис. 2.3 по результатам моделирования.

4. С помощью осциллографа измерьте фазу суммарного напряжения в схеме на рисунке 4.

Практическая работа 2

Причем это могут быть не только проводники, но и конденсаторы. Здесь важно не запутаться в том, как выглядит каждое из них на схеме. А уже потом применять конкретные формулы. Их, кстати, нужно помнить наизусть.

Как различить эти два соединения?

Внимательно посмотрите на схему. Если провода представить как дорогу, то машины на ней будут играть роль резисторов. На прямой дороге без каких-либо разветвлений машины едут одна за другой, в цепочку. Так же выглядит и последовательное соединение проводников. Дорога в этом случае может иметь неограниченное количество поворотов, но ни одного перекрестка. Как бы ни виляла дорога (провода), машины (резисторы) всегда будут расположены друг за другом, по одной цепочке.

Совсем другое дело, если рассматривается параллельное соединение. Тогда резисторы можно сравнить со спортсменами на старте. Они стоят каждый на своей дорожке, но направление движения у них одинаковое, и финиш в одном месте. Так же и резисторы — у каждого из них свой провод, но все они соединены в некоторой точке.

Формулы для силы тока

О ней всегда идет речь в теме «Электричество». Параллельное и последовательное соединение по-разному влияют на величину в резисторах. Для них выведены формулы, которые можно запомнить. Но достаточно просто запомнить смысл, который в них вкладывается.

Так, ток при последовательном соединении проводников всегда одинаков. То есть в каждом из них значение силы тока не отличается. Провести аналогию можно, если сравнить провод с трубой. В ней вода течет всегда одинаково. И все препятствия на ее пути будут сметаться с одной и той же силой. Так же с силой тока. Поэтому формула общей силы тока в цепи с последовательным соединением резисторов выглядит так:

I общ = I 1 = I 2

Здесь буквой I обозначена сила тока. Это общепринятое обозначение, поэтому его нужно запомнить.

Ток при параллельном соединении уже не будет постоянной величиной. При той же аналогии с трубой получается, что вода разделится на два потока, если у основной трубы будет ответвление. То же явление наблюдается с током, когда на его пути появляется разветвление проводов. Формула общей силы тока при :

I общ = I 1 + I 2

Если разветвление составлено из проводов, которых больше двух, то в приведенной формуле на такое же количество станет больше слагаемых.

Формулы для напряжения

Когда рассматривается схема, в которой выполнено соединение проводников последовательно, то напряжение на всем участке определяется суммой этих величин на каждом конкретном резисторе. Сравнить эту ситуацию можно с тарелками. Удержать одну из них легко получится одному человеку, вторую рядом он тоже сможет взять, но уже с трудом. Держать в руках три тарелки рядом друг с другом одному человеку уже не удастся, потребуется помощь второго. И так далее. Усилия людей складываются.

Формула для общего напряжения участка цепи с последовательным соединением проводников выглядит так:

U общ = U 1 + U 2 , где U - обозначение, принятое для

Другая ситуация складывается, если рассматривается Когда тарелки ставятся друг на друга, их по-прежнему может удержать один человек. Поэтому складывать ничего не приходится. Такая же аналогия наблюдается при параллельном соединении проводников. Напряжение на каждом из них одинаковое и равно тому, которое на всех них сразу. Формула общего напряжения такая:

U общ = U 1 = U 2

Формулы для электрического сопротивления

Их уже можно не запоминать, а знать формулу закона Ома и из нее выводить нужную. Из указанного закона следует, что напряжение равно произведению силы тока и сопротивления. То есть U = I * R, где R — сопротивление.

Тогда формула, с которой нужно будет работать, зависит от того, как выполнено соединение проводников:

• последовательно, значит, нужно равенство для напряжения — I общ * R общ = I 1 * R 1 + I 2 * R 2;
• параллельно необходимо пользоваться формулой для силы тока — U общ / R общ = U 1 / R 1 + U 2 / R 2 .

Далее следуют простые преобразования, которые основываются на том, что в первом равенстве все силы тока имеют одинаковое значение, а во втором — напряжения равны. Значит, их можно сократить. То есть получаются такие выражения:

1. R общ = R 1 + R 2 (для последовательного соединения проводников).
2. 1 / R общ = 1 / R 1 + 1 / R 2 (при параллельном соединении).

При увеличении числа резисторов, которые включены в сеть, изменяется количество слагаемых в этих выражениях.

Стоит отметить, что параллельное и последовательное соединение проводников по-разному влияют на общее сопротивление. Первое из них уменьшает сопротивление участка цепи. Причем оно оказывается меньше самого маленького из использованных резисторов. При последовательном соединении все логично: значения складываются, поэтому общее число всегда будет самым большим.

Работа тока

Предыдущие три величины составляют законы параллельного соединения и последовательного расположения проводников в цепи. Поэтому их знать нужно обязательно. Про работу и мощность необходимо просто запомнить базовую формулу. Она записывается так: А = I * U * t , где А — работа тока, t — время его прохождения по проводнику.

Для того чтобы определить общую работу при последовательном соединении нужно заменить в исходном выражении напряжение. Получится равенство: А = I * (U 1 + U 2) * t, раскрыв скобки в котором получится, что работа на всем участке равна их сумме на каждом конкретном потребителе тока.

Аналогично идет рассуждение, если рассматривается схема параллельного соединения. Только заменять полагается силу тока. Но результат будет тот же: А = А 1 + А 2 .

Мощность тока

При выведении формулы для мощности (обозначение «Р») участка цепи опять нужно пользоваться одной формулой: Р = U * I. После подобных рассуждений получается, что параллельное и последовательное соединение описываются такой формулой для мощности: Р = Р 1 + Р 2 .

То есть, как бы ни были составлены схемы, общая мощность будет складываться из тех, которые задействованы в работе. Именно этим объясняется тот факт, что нельзя включать в сеть квартиры одновременно много мощных приборов. Она просто не выдержит такой нагрузки.

Как влияет соединение проводников на ремонт новогодней гирлянды?

Сразу же после того, как перегорит одна из лампочек, станет ясно, как они были соединены. При последовательном соединении не будет светиться ни одна из них. Это объясняется тем, что пришедшая в негодность лампа создает разрыв в цепи. Поэтому нужно проверить все, чтобы определить, какая перегорела, заменить ее - и гирлянда станет работать.

Если в ней используется параллельное соединение, то она не перестает работать при неисправности одной из лампочек. Ведь цепь не будет полностью разорвана, а только одна параллельная часть. Чтобы отремонтировать такую гирлянду, не нужно проверять все элементы цепи, а только те, которые не светятся.

Что происходит с цепью, если в нее включены не резисторы, а конденсаторы?

При их последовательном соединении наблюдается такая ситуация: заряды от плюсов источника питания поступают только на внешние обкладки крайних конденсаторов. Те, что находятся между ними, просто передают этот заряд по цепочке. Этим объясняется то, что на всех обкладках появляются одинаковые заряды, но имеющие разные знаки. Поэтому электрический заряд каждого конденсатора, соединенного последовательно, можно записать такой формулой:

q общ = q 1 = q 2 .

Для того чтобы определить напряжение на каждом конденсаторе, потребуется знание формулы: U = q / С. В ней С — емкость конденсатора.

Общее напряжение подчиняется тому же закону, который справедлив для резисторов. Поэтому, заменив в формуле емкости напряжение на сумму, мы получим, что общую емкость приборов нужно вычислять по формуле:

С = q / (U 1 + U 2).

Упростить эту формулу можно, перевернув дроби и заменив отношение напряжения к заряду емкостью. Получается такое равенство: 1 / С = 1 / С 1 + 1 / С 2 .

Несколько по-другому выглядит ситуация, когда соединение конденсаторов — параллельное. Тогда общий заряд определяется суммой всех зарядов, которые накапливаются на обкладках всех приборов. А значение напряжения по-прежнему определяется по общим законам. Поэтому формула для общей емкости параллельно соединенных конденсаторов выглядит так:

С = (q 1 + q 2) / U.

То есть эта величина считается, как сумма каждого из использованных в соединении приборов:

С = С 1 + С 2.

Как определить общее сопротивление произвольного соединения проводников?

То есть такого, в котором последовательные участки сменяют параллельные, и наоборот. Для них по-прежнему справедливы все описанные законы. Только применять их нужно поэтапно.

Сперва полагается мысленно развернуть схему. Если представить ее сложно, то нужно нарисовать то, что получается. Объяснение станет понятнее, если рассмотреть его на конкретном примере (см. рисунок).

Ее удобно начать рисовать с точек Б и В. Их необходимо поставить на некотором удалении друг от друга и от краев листа. Слева к точке Б подходит один провод, а вправо направлены уже два. Точка В, напротив, слева имеет два ответвления, а после нее расположен один провод.

Теперь необходимо заполнить пространство между этими точками. По верхнему проводу нужно расположить три резистора с коэффициентами 2, 3 и 4, а снизу пойдет тот, у которого индекс равен 5. Первые три соединены последовательно. С пятым резистором они параллельны.

Оставшиеся два резистора (первый и шестой) включены последовательно с рассмотренным участком БВ. Поэтому рисунок можно просто дополнить двумя прямоугольниками по обе стороны от выбранных точек. Осталось применить формулы для расчета сопротивления:

• сначала ту, которая приведена для последовательного соединения;
• потом для параллельного;
• и снова для последовательного.

Подобным образом можно развернуть любую, даже очень сложную схему.

Задача на последовательное соединение проводников

Условие. В цепи друг за другом подсоединены две лампы и резистор. Общее напряжение равно 110 В, а сила тока 12 А. Чему равно сопротивление резистора, если каждая лампа рассчитана на напряжение в 40 В?

Решение. Поскольку рассматривается последовательное соединение, формулы его законов известны. Нужно только правильно их применить. Начать с того, чтобы выяснить значение напряжения, которое приходится на резистор. Для этого из общего нужно вычесть два раза напряжение одной лампы. Получается 30 В.

Теперь, когда известны две величины, U и I (вторая из них дана в условии, так как общий ток равен току в каждом последовательном потребителе), можно сосчитать сопротивление резистора по закону Ома. Оно оказывается равным 2,5 Ом.

Ответ. Сопротивление резистора равно 2,5 Ом.

Задача на параллельное и последовательное

Условие. Имеются три конденсатора с емкостями 20, 25 и 30 мкФ. Определите их общую емкость при последовательном и параллельном соединении.

Решение. Проще начать с В этой ситуации все три значения нужно просто сложить. Таким образом, общая емкость оказывается равной 75 мкФ.

Несколько сложнее расчеты будут при последовательном соединении этих конденсаторов. Ведь сначала нужно найти отношения единицы к каждой из этих емкостей, а потом сложить их друг с другом. Получается, что единица, деленная на общую емкость, равна 37/300. Тогда искомая величина получается приблизительно 8 мкФ.

Ответ. Общая емкость при последовательном соединении 8 мкФ, при параллельном — 75 мкФ.