Система счисления с основанием 5. Системы счисления
Методический комментарий к уроку
Цели учителя: Показать учащимся методы интеграции знаний из различных источников, создать условия для продуктивной работы в группах.
Цели учащихся: Познакомиться с историей появления систем счисления, узнать принципы построения различных систем счисления и области их использования, получить необходимые навыки командной работы с различными источниками информации.
На уроке математике в 5-м классе во время выполнения задания, связанного с разложением по разрядам многозначных чисел, у учащихся возникли вопросы: “Почему мы считаем десятками? Почему нельзя считать по-другому? Есть ли другие способы счёта?”. Учителем было предложено найти ответы на данные вопросы путём поиска, анализа и обобщения информации по данной теме в течение недели, работая в малых группах, сформированных из учащихся класса по желанию. Результаты данной работы должны быть оформлены и представлены на уроке математике через неделю. По окончании урока класс разбился на следующие творческие группы:
- Системы счисления (общие понятия) – 5 человек
- Двоичная система – 7 человек (этот вопрос вызвал наибольший интерес)
- Шестидесятеричная система– 5 человек
- Десятичная система– 5 человек
- Другие системы счисления – 3 человека
- Перевод их одной системы в другую – 5 человек.
В результате поисковой деятельности учащихся получился следующий урок:
“Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир”
(И-В Гёте)
Группами учащихся были представлены результаты поисковой и аналитической работы.
I – Общие понятия
Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел – язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом – правило, позволяющее сформулировать запись числа однозначно.
Число – это некоторая абстрактная сущность для описания количества
Цифра – это знак, используемый для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространёнными являются арабские цифры; менее распространёнными римские цифры (можно увидеть на циферблате часов или в обозначении века)
Основание – количество цифр, используемых в системе счисления.
Примеры чисел в различных системах счисления:
11001 2 – число в двоичной системе счисления
221 3 – число в троичной системе счисления
31 8 – число в восьмеричной системе счисления
25 10 – число в десятичной системе счисления
В старых книгах по арифметике, кроме 4 арифметических действий, упоминается и пятое – нумерация. Нумерация (счисление) была одной из первых проблем, с которой столкнулись при построении арифметики.
Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы можно разделить на три группы:
- позиционные системы счисления
- смешанные системы счисления
- непозиционные системы счисления
Денежные знаки – пример смешанной системы счисления. Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: 1коп., 5коп., 10коп., 50коп., 1руб., 2руб.,5руб., 10руб., 50руб., 100руб., 500руб., 1000руб., 5000руб. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, надо использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Предположим, что мы покупаем пылесос, который стоит 6379 рублей. Чтобы заплатить за покупку потребуется 6 купюр по 1000 рублей, 3 купюры по 100 рублей, 1 пятидесятирублёвая купюра, две десятки, одна пятирублёвая и две монеты по 2 рубля. Если мы запишем количество купюр и монет, начиная с 100 рублей и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями пропущенные номиналы, то мы получим число, представленное в смешанной системе счисления: в нашем случае – 603121200000.
В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в записи числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе цифры можно переставлять, при этом сумма не изменится. Примером непозиционной системы является римская система. Такие системы строятся по принципу аддитивности (англ. аdd. – сумма). Количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр. Например:
В позиционных системах счисления всегда важен порядок расположения цифр в записи числа. (25 и 52 – разные числа)
Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:
- возможность представления числа в заданном диапазоне чисел
- однозначность представления
- краткость и простоту записи
- лёгкость овладения системой, а так же простота и удобство оперирования ею
II – Двоичная система счисления
Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью двух символов: 1 и 0. Цифра двоичной системы - бит. Восемь цифр – байт.
Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё в XVII-XIX веках. Выдающийся математик Лейбниц говорил: “Вычисление с помощью двоек…является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок”. Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательное применение двоичной системы при конструировании электронных схем.
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой.
Преимущества двоичной системы:
- Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. Две цифры легко представлены физическими явлениями: есть ток – нет тока; индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет т.д.
- Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать
- Двоичная арифметика является довольно простой.
- Возможно применение аппарата логики для выполнения побитовых операций
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используется таблица степеней числа 2.
III – Шестидесятеричная система счисления
В современное время шестидесятеричная система счисления используется для измерения времени, углов.
В представлении времени используются три позиции: часы, минуты, секунды, так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только 10, то для каждой шестидесятеричной позиции используются две десятичные цифры (00, 01, …), позиции разделяются двоеточием. h:m:s.
Рассмотрим действия в шестидесятеричной системе счисления на двух задачах:
- Пирог нужно печь в духовке 45 минут. Сколько секунд потребуется?
- Нужно испечь 10 пирогов. Сколько потребуется времени?
Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе счисления нужно знать таблицы сложения и умножения шестидесятеричных чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60*60, мы то обычную таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятеричную таблицу нам будет ещё гораздо сложнее. Как же быть? Можно решать эти задачи в десятичной системе счисления, а потом результат перевести в шестидесятеричную.
45 минут=0*3600+45*60+0= 2700 секунд
2700*10=27000 секунд потребуется для выпечки 10 пирогов.
27000/60=450 (остаток 0)
450/60=7 (остаток 30)
7/60=0 (остаток 7) Получилось 07:30:00
IV – Десятичная система счисления
Представление чисел с помощью арабских цифр – самая распространённая позиционная система счисления, она называется “десятичной системой счисления”. Десятичной она называется потому, что использует десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Десятичная система счисления – наиболее известное достижение индийской математики (595год). Система с основанием 10 проникла по караванным путям из Индии во многие области Ближнего Востока. Постепенно эту систему всё шире стали применять в арабском мире, хотя одновременно в ходу оставались и другие системы. “Книга абака” Леонардо Пизанского (1202 год) была одним из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Эта книга была грандиозным по тем временам трудом, в печатном виде она насчитывала 460 страниц. Её автор известен ещё и под именем Фибоначчи. Его книга представляла математическую энциклопедию своего времени. Десятичная система получила распространение и признание в Европе только в эпоху Возрождения.
V – Другие системы счисления
Шестнадцатеричная система счисления – используются следующие знаки для записи чисел: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В, С,D, E, F.
Двоично-десятичная система счисления. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определённой комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой. Пример:
125 10 =000100100101 2-10 (3 тетрады)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Пятеричная система счисления – Первые математики умели считать лишь по пальцам одной руки, а если предметов было больше, то говорили так: “пять +один” и т.д. Иногда за основу принимали число 20 – число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов 146 были десятичными, 106 – пятеричными и десятичными. В более характерной форме система с основанием 20 существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе.
VI – Перевод из одной системы в другую
Связаны ли системы счисления между собой? Возможно, ли перевести число из одной системы в другую? Существует два основных правила перевода из одной системы в другую:
Перевод из любой другой в десятичную систему осуществляется по формулам:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Перевод числа из десятичной системы в систему с любым основанием осуществляется по алгоритму:
25 10 перевести в число в двоичной системе
25/2=12 (остаток 1)
12/2=6 (остаток 0)
6/2=3 (остаток 0)
3/2=1 (остаток 1)
1/2=0 (остаток 1) Получили число 11001 2
25 10 перевести в число в троичной системе
25/3=8 (остаток 1)
8/3=2 (остаток 2)
2/3=0 (остаток 2) Получили 221 3
25 10 перевести в число в восьмеричной системе
25/8=3 (остаток 1)
3/8=0 (остаток 3) Получили 31 8
После представления результатов работы творческих групп были оценены все системы счисления по указанным в начале критериям и все пришли к выводу, что в результате исторического развития математики самая удобная система (десятичная) стала самой распространённой. При этом были горячие сторонники двоичной системы, считавшие, что она очень важна для электроники.
Закончен урок был синквейном.
Система счисления – удобная, быстрая, помогает, считает, записывает
“Счёт и вычисления – основа порядка в голове” (И. Песталоцци)
Источники информации
- Д.Я. Стройк “Краткий очерк истории математики” (“Наука”, Москва, 1990 г.).
- Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова “За страницами учебника математики” (“Просвещение”, Москва, 2008).
- А.В. Дорофеева “Страницы истории на уроках математики” (“Просвещение”, Москва, 2007).
- Интернет – ресурсы “Википедия”.
Система счисления (СС)– это совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой СС для представления чисел используются некоторые числа, которые называются базисными числами, а все остальные числа получают в результате каких-либо операций над базисными числами. В современном мире наиболее распространено представление чисел 0. . .9.
СС различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел. Например, в римской СС базисными являются: I(1),V(5),X(10),L(50),C(100),D(500),M(1000), а другие получаются путем сложения и вычитания базисных чисел. В римской СС каждый числовой знак имеет одно и тоже значение, т. е. значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа: 146 –CXLVI.
Такая СС является непозиционной. В ней удобно записывать небольшие числа. Но выполнять операции над большими числами неудобно.
5.1. Позиционные системы счисления
В настоящее время для представления чисел используются позиционные СС. СС называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Количество цифр, используемых для изображения чисел в позиционной СС, называется ее основанием, т. е. если используется К цифр, то основание СС равно К. Число в позиционной СС можно представить следующим образом:
Позиции перенумерованные таким образом
называют разрядами. Каждая из цифр
принимает одно из значений
.Kиспользуется для
количественной оценки каждого разряда
числа. Т. е. число вk-ичной
СС можно представить в виде полинома:
Примеры позиционных систем счисления:
Арифметические действия в любой позиционной СС производятся по тем же правилам, что и в десятичной СС, т. к. все они основываются на правилах выполнения действий с соответствующими полиномами. При этом используются таблицы сложения и умножения, которые имеют место при данном основании СС.
Таблицы сложения и умножения в двоичной СС имеют вид:
Для физического представления чисел необходимы элементы, которые способны находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой СС, тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной СС. Для реализации десятичной системы СС потребуются элементы, имеющие 10 устойчивых состояний. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например, электромагнитное реле (состояния «замкнуто»-«разомкнуто»), ферромагнитная поверхность (намагничена – размагничена), транзисторный ключ и т. д. Одно из этих состояний можно обозначить цифрой –0, а другое – 1.
С двоичной СС связаны и другие преимущества. Она обеспечивает максимальную помехоустойчивость в процессе передачи информации. В ней предельно просто выполняются арифметические и логические операции. Благодаря этому двоичная СС стала стандартом в современной вычислительной технике.
Недостатком двоичной СС является большое число разрядов двоичного кода.
Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".
Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Получить запись
Выполнено переводов: 1455723
Системы счисления
Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.
Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:
Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:
1.
Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение:
10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ:
10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение:
E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ:
E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.
Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.
3.
Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение:
273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка
: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ:
273 10 = 421 8
Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.
Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.
4.
Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение:
0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ:
0.125 10 = 0.001 2
Представление чисел и команд в ЭВМ (INFlesson5.doc).
Мысль выражать числа десятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учёности Архимеда и Апполония, от которых эта мысль осталась скрытой.
Пьер Симон Лаплас
Изучая способы представления числовой информации необходимо знакомиться с правилами перевода одного представления числа в другое, пытаться понять, почему одно и то же число в различных ситуациях необходимо представлять по-разному. Приёмами представления чисел занимается специальный раздел теории чисел «Системы счисления».
Введено еще одно важное понятие – система счисления. Зачем она нужна? Что это вообще такое? Системы счисления – это системы, созданные человеком. Называют такие системы искусственными в отличие отестественных систем, созданных природой. К естественным (природным) системам относятся галактики, наша Солнечная система, человек как единое целое и так далее. К искусственным системам относятся города, заводы, система образования, национальные языки, то есть всё, что сделано людьми.
Искусственные системы можно разделить на
материальные: автомобили, самолёты, дома, города, плотины и т.д.;
общественные , то есть разные объединения людей: парламент, система народного образования, шахматный клуб и т.д.;
информационные: национальные языки, компьютерная сеть Интернет, системы счисления и т.д.
Каждая искусственная система создаётся с определённой целью. Можно утверждать, что лучше та искусственная система, которая наилучшим образом обеспечивает достижение цели её создания.
Целью создания системы счисления является выработка наиболее удобного способа записи чисел. Система счисления позволяет отображать в компактной форме количественные сведения об объектах и манипулировать ими, используя достаточно простые правила.
Первые девять натуральных чисел мы обозначаем специальными знаками:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Поступать таким же образом со всеми встречающимися на практике числами, т.е. обозначать специальными знаками все встречающиеся числа, было бы неудобно. Даже если бы наши потребности ограничивались счётом в пределах тысячи, надо было бы запомнить тысячу специальных знаков. Естественно, что уже давно люди стали выбирать тот или иной ряд "ключевых", основных чисел и только их обозначать специальными знаками.
Системы счисления – это гениальное изобретение человечества. Для того чтобы сообщить о том, что сегодня две тысячи седьмой год на естественном языке, я вынужден использовать 16 символов (без учёта пробелов). С помощью языка чисел, можно то же самое изобразить четырьмя символами. Получается, что цифры представляют собой коды соответствующих слов, что подтверждается и тем, что номер года, записанный словами и числом, читается нами одинаково. Числа на разных естественных языках произносятся различным образом, а их запись и правила выполнения арифметических операций над ними одинаковы.
Понятие числа является фундаментальным как для математики, так и для информатики. Но если в математике наибольшее внимание уделяется методам обработки чисел, то для информатики нельзя обойти стороной методы представления чисел, так как именно они определяют необходимые ресурсы памяти, скорость и погрешность вычислений.
1. Система счисления – это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действий над числами.
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.
1.1 Непозиционные системы счисления.
Непозиционными системами счисления пользовались древние египтяне,
греки, римляне и некоторые другие народы древности. В непозиционных системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он (знак) обозначает.
До нас дошла римская система записи чисел (римские цифры), которая в некоторых случаях применяется до сих пор в нумерации (века, тома, главы книги). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:
1 5 10 50 100 500 1000
Например, число ССXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.
VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.
MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.
Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны при умножении и делении.
1.2 Позиционные системы счисления (ПСС).
Позиционные системы счисления удобны тем, что позволяют записывать сколь угодно большие числа с помощью небольшого количества цифр. Немаловажным преимуществом позиционных систем счисления являются достаточно простые алгоритмы выполнения арифметических операций над числами.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её позиции.
Количество используемых цифр называется основанием ПСС.
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Её основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Многие из нас эти значки, известные с детства, связывают с понятием "цифра". Тем не менее, в качестве цифр мы можем использовать любые значки. Да и цифр не обязательно должно быть десять.
Хотя десятичную систему принято называть арабской, но зародилась она в Индии, в V веке. В Европе об этой системе узнали в XII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь. Этим и объясняется название "арабские цифры".
Позиционный тип десятичной системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая цифра означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные величины.
333 = 3 100 + 3 10 + 3.
Всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.
26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .
Это позволяет осуществить перевод чисел с основанием не равным 10 к десятичному представлению.
Для осуществления такого перевода необходимо записать исходное число в виде суммы произведений цифр числа на соответствующие степени основания и вычислить значение полученного числового выражения по правилам десятичной арифметики.
1. 432,32 5 → A 10 .
432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =
2. DF,4A 16 → A 10
DF,4A 16 = 13*16 1 + 15*16 0 + 4*16 -1 + A*16 -2 = 208 + 15 +
Число «десять» - не единственно возможное основание позиционной системы. Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу: "Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой".
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n (n – обозначение основания ПСС) нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n ≤ 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.
Приведем примеры алфавитов нескольких систем:
Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу.
1011001 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .
1.3 Перевод десятичных чисел в ПСС с основанием, не равным 10.
1.3.1 Перевод целых чисел.
Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе
счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;
Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;
Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
1.3.2 Перевод дробных чисел.
Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия выполнять в десятичной системе счисления;
Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;
Полученные целые части произведений, являющихся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Примеры перевода конкретных десятичных чисел представлены в приложении 1.
Приложение 1.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16
Результат уже получен!
Системы счисления
Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:
Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Тогда число 1287.923 можно представить в виде:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .
В общем случае формулу можно представить в следующем виде:
Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k
где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления.
Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.
| Таблица 1 | |||
|---|---|---|---|
| Система счисления | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.
Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:
Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.
Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.
Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:
159 10 =10011111 2 .
Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:
615 10 =1147 8 .
Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.
Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).
Рассмотрим вышеизложенное на примерах.
Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .
Следовательно можно записать:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:
0.125 10 =0.001 2 .
Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:
0.214 10 =0.36C8B4 16 .
Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Получили:
0.512 10 =0.406111 8 .
Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.