Представление периодических сигналов рядом фурье. Примеры разложения в ряд фурье
где , - частота основной гармоники, ;
() – высшие гармоники; (включая ) и – коэффициенты Фурье.
, |
Постоянную составляющую (среднее значение) функции удобно вычислять по отдельному выражению полученному из при :
, тогда , |
Очевидно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени , то в тригонометрической записи ряда Фурье (1.14) остаются только косинусоидальные составляющие , так как коэффициенты обращаются в нуль. Для сигнала определяемого нечетной функцией времени, наоборот, в нуль обращаются коэффициенты , и ряд содержит синусоидальные составляющие
Часто выражение (1.15) удобно представлять в другой, эквивалентной форме ряда Фурье:
, |
где , - амплитуда, - начальная фаза - ой гармоники.
На рис. 1.10 приведены графики, иллюстрирующие представление периодической последовательности прямоугольных импульсов конечным числом слагаемых () ряда Фурье.
Для функции (рис.1.10) разложение имеет вид
Периодическая последовательность прямоугольных импульсов представляется как результат сложения постоянной составляющей и синусоидальных сигналов с частотами , причем период синусоиды с частотой совпадает с периодом последовательности импульсов . Для удобства можно представить в виде .
Совокупность всех гармонических составляющих разложения функции в ряд Фурье называется спектром функции.
Наличие отдельных гармонических составляющих спектра и величины из амплитуд можно наглядно показать с помощью спектральной диаграммы (рис.1.11), у которой горизонтальная ось служит осью частот, а вертикальная – осью амплитуд.
В точках оси частот отображаются амплитуды соответствующих гармонических составляющих разложения функции.
Легко заметить, что график суммы двух первых слагаемых разложения (1.16) воспроизводит форму графика функции очень грубо, только в основных чертах. Учет третьего слагаемого существенно улучшает совпадение суммы с функцией . Таким образом, с увеличением числа учитываемых гармоник точность представления возрастает.
На практике спектральные диаграммы называют более кратко – амплитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются амплитудным спектром (рис. 1.11). По нему можно оценить процентное содержание гармоник, наличие и уровни отдельных гармонических составляющих спектра.
Пример 1.1. Разложим в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (, , ) (рис. 1.12), четную относительно точки :
.
Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (1.12). Для спектрального представления последовательности прямоугольных импульсов начало отсчета целесообразно брать в середине импульса. Действительно, в этом случае и в разложении останутся только косинусоидальные составляющие, так как интегралы от нечетных функций за период равны нулю bk=0.
По формулам (1.14) находим коэффициенты:
, ,
позволяющие записать ряд Фурье:
,
где - скважность импульсной последовательности.
Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных полагаем и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра при , , и 8 сведены в табл. 1.1 и построены спектральные диаграммы на рис.1.13.
Таблица 1.1. Амплитуды спектральных составляющих для периодической последовательности прямоугольных импульсов
Из приведенного примера следует, что с увеличением скважности увеличивается число спектральных составляющих и уменьшаются их амплитуды.
Выбор количества спектральных составляющих зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Плавное изменение формы сигнала потребует меньше числа гармоник при той же точности представления, чем для скачкообразного сигнала. Для приближенного представления прямоугольных импульсов на практике обычно считают, что достаточно трех - пяти гармоник.
Формы записи ряда Фурье. Сигнал называется периодическим, если его форма циклически повторяется во времени Периодический сигнал u(t) в общем виде записывается так:
u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…
Здесь Т-период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.
Для математического представления периодических сигналоа с периодом Т часто пользуются рядом (2.2), в котором как базисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот
y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;
y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …,(2.3)
где w 1 =2p/T- основная угловая частота последовательности
функций. При гармонических базисных функциях из ряда (2.2) получаем ряд Фурье (Жан Фурье - французский математик и физик XIX века).
Гармонические функции вида (2.3) в ряде Фурье имеют следующие преимущества: 1) простое математическое описание; 2) инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; 3) как и сигнал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; 4) техника генерирования гармонических функций достаточно проста.
Из курса математики известно, что для разложения периодического сигнала в ряд по гармоническим функциям (2.3) необходимо выполнение условий Дирихле. Но все реальные периодические сигналы этим условиям удовлетворяют и их можно представить в виде ряда Фурье, который может быть записан в одной из следующих форм:
u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)
где коэффициенты
А 0 =
A mn ”= (2.5)
u(t)=A 0 /2+ (2.6)
A mn = (2.7)
или в комплексной форме
u(t)= (2.8)
C n = (2.9)
Из (2.4) - (2.9) следует, что в общем случае периодический сигнал u(t) содержит постоянную составляющую A 0 /2и набор гармонических колебаний основной частоты w 1 =2pf 1 и ее гармоник с частотами w n =nw 1 , n=2,3,4,… Каждое из гармонических
колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудойи начальной фазой y n .nn
Спектральная диаграмма и спектр периодического сигнала. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.
Спектральной диаграммой сигнала принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Различают амплитудные и фазовые диаграммы. На рис. 2.6 в некотором масштабе по горизонтальной оси отложены значения частот гармоник, по зертикальной оси - их амплитуды A mn и фазы y n . Причем амплитуды гармоник могут принимать только положительные значения, фазы - как положительные, так и отрицательные значения в интервале -p£y n £p
Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. В технических приложениях на практике спектральные диаграммы называют более кратко - амплитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются амплитудной спектральной диаграммой. По ней можно оценить процентное содержание гармоник в спектре.
Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (U m , T, t z), четную "Относительно точки t=0. Построить спектральную диаграмму амплитуд и фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t и =2 и 8.
Заданный периодический сигнал на интервале одного периода можно записать как
u(t) =
Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (2.4). Так как сигнал четный, то в разложении останутся только косинусоидальные составляющие.
Рис. 2.6. Спектральные диаграммы периодического сигнала:
а - амплитудная; б - фазoвая
Интеграл от нечетной функции за период равеy нулю. По формулам (2.5) находим коэффициенты
позволяющие записать ряд Фурье:
Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных задаемся я=0, 1, 2, 3, ... и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра сведены в табл. 2.1. В ряде (2.4) А" mn =0 и согласно (2.7) A mn =|A’ mn |, основная частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплитудный спектр на рис.
2.7 построен для таких n, при которых А mn больше 5% максимального значения.
Из приведенного примера 2.3 следует, что с увеличением скважности увеличивается число спектральных составляющих и уменьшаются их амплитуды. Говорят, что такой сигнал обладает богатым спектром. Необходимо отметить, что для многих практически применяемых сигналов нет необходимости проводить вычисление амплитуд и фаз гармоник по приведенным ранее формулам.
Таблица 2.1. Амплитуды составляющих ряда Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов
Рис. 2.7. Спектральные диаграммы периодической последовательности импульсов: а -при скважности S-2; - б-при скважности S=8
В математических справочниках имеются таблицы разложений сигналов в ряд Фурье. Одна из таких таблиц приведена в приложении (табл. П.2).
Часто возникает вопрос: сколько же взять спектральных со-ставляющих (гармоник), чтобы представить реальный сигнал рядом Фурье? Ведь ряд-то, строго говоря, бесконечный. Однозначного ответа здесь нельзя дать. Все зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Более плавное изменение сигнала - меньше требуется гармоник. Если сигнал имеет скачки (разрывы), то необходимо суммировать большее число гармоник для достижения такой же погрешности. Однако во многих случаях, например в телеграфии, считают, что и для передачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.
Примеры разложения в ряд Фурье.
а) Последовательность прямоугольных импульсов .
Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.
Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:
. (17)
Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ принято называть скважностью последовательности импульсов :.
. (18)
Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:
.
Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:
. (19)
График функции носит лепестковый характер.
Размещено на реф.рф
Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.
Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов
в виде ряда Фурье.
Ширина лепестков , измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , в случае если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности . Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , ᴛ.ᴇ. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр .
б) Пилообразный сигнал.
Рис 4. Пилообразный сигнал.
Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линейной функцией
, . (20)
Данный сигнал является нечетной функцией, в связи с этим его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:
Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:
Важно заметить, что для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .
в) Последовательность треугольных импульсов .
Ряд Фурье имеет вид:
Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.
Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.
Лекция №3. Преобразование Фурье.
Свойства преобразования Фурье.
Примеры разложения в ряд Фурье. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Примеры разложения в ряд Фурье." 2017, 2018.
1.3 Сделать общие выводы.
Часть 2
Цель работы: углубление теоретических знаний, полученных в ходе изучения преобразования Фурье (Fourier Transform)
Необходимые теоретические сведения.
Изменяя период Т и длительность импульса как показано на рис. 7, можно изменять спектр сигнала. С увеличением периода гармоники сближаются, не изменяя форму огибающей.
Рис.7 – Изменение спектра
Смоделируем одиночный прямоугольный импульс, периодическую последовательность импульсов с периодом Т и 10Т .
t = 0:.0314:25; y= square(2*pi*t/10, pi*pi); z = rectpuls(2*pi*t1/10); subplot(4,2,1); plot(t,x) subplot(4,2,2); plot(t,y) subplot(4,2,3); plot(t1,z) |
Проведем спектральный анализ полученных сигналов. Непериодические процессы - таковыми являются информационные сигналы , одиночные импульсы , хаотические колебания (шумы ) - обладают сплошным или непрерывным спектром. Интуитивно к такому выводу можно прийти, представляя одиночный импульс частью периодической последовательности, период которой неограниченно увеличивается. Действительно, при увеличении интервала между импульсами гармоники на спектральных диаграммах периодических последовательностей импульсов сближаются: чем реже следуют импульсы, тем меньше расстояние между соседними гармониками (оно равно 1/T ). Спектр одиночного импульса (предельный случай увеличения периода) становится непрерывным, и вводится он не рядами, а интегралами Фурье .
Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов.
В описанных ниже функциях реализован особый метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) - Fast Fourier Transform (FFT ), позволяющий резко уменьшить число арифметических операций в ходе приведенных выше преобразований. Метод особенно эффективен, если число обрабатываемых элементов (отсчетов) составляет 2 n , где n - целое положительное число. В MatLab используются следующие функции:
fft(X ) - возвращает для вектора X дискретное преобразование Фурье, по возможности используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. Если X - матрица, функция fft возвращает преобразование Фурье для каждого столбца матрицы;
fft(X.n) - возвращает n-точечное преобразование Фурье. Если длина вектора X меньше n, то недостающие элементы заполняются нулями. Если длина X больше п, то лишние элементы удаляются. Когда X - матрица, длина столбцов корректируется аналогично;
ft(X,[ Ldirn) и fft(X,n,dim) - применяют преобразование Фурье к одной из размерностей массива в зависимости от значения параметра dim .
Возможно одномерное обратное преобразование Фурье, реализуемое следующими функциями:
ifft(F) - возвращает результат дискретного обратного преобразования Фурье вектора F . Если F - матрица, то ifft возвращает обратное преобразование Фурье для каждого столбца этой матрицы;
ifft(F.n) - возвращает результат n-точечного дискретного обратного преобразования Фурье вектора F ;
ifft(F.,dim) иу = ifft(X,n,dim) - возвращают результат обратного дискретного преобразования Фурье массива F по строкам или по столбцам в зависимости от значения скаляра dim .
Для любого X результат последовательного выполнения прямого и обратного преобразований Фурье ifft(fft(x)) равен X с точностью до погрешности округления. Если X - массив действительных чисел, ifft(fft(x)) может иметь малые мнимые части.
Получим спектры смоделированных сигналов.
Вызовем программу SPTool (Signal Processing Tool) . Импортируем смоделированные сигналы и рассчитаем спектр сигнала. С этой целью выделяем сигнал в списке сигналов и нажмите кнопку Create , расположенную под списком спектров. В окне Spectrum Viewer в поле Parameters нужно указать метод спектрального анализа. Указываем метод ДПФ (используется быстрое преобразование Фурье БПФ (FFT)). Указав метод, следует щёлкнуть мышью по кнопке Apply . Будет выведен график спектральной плотности мощности. Имеется возможность выводить спектры в линейном или в логарифмическом масштабе (меню Options ).
Непрерывным (сплошным) является спектр хаотических (шумовых ) колебаний . В этом случае спектральная характеристика, как функция частоты, также представляет собой хаотический (случайный ) процесс , статистические параметры которого определяются спецификой конкретного случайного временного процесса. Сформируем сигнал, содержащий регулярные составляющие с частотами 50 Гц и 120 Гц и случайную аддитивную компоненту с нулевым средним.
ЗАДАНИЕ 2
2.1. Спектры периодических сигналов
Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T , который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными . Можно показать, и практика это доказывает, что, если входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими. При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.
Существует общая методика исследования периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное равенство: . Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота колебания которой связана с периодом T целочисленными соотношениями.
Для рассматриваемого примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического сигнала T 1 = T , а период второй гармоники в два раза меньшим T 2 = T /2, т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:
|
|
Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( ), а начальные фазы равны нулю.
Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй гармоники
негармонического сигнала
В электротехнике гармоническая составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется первой или основной гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется
k - ой гармоникой. Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой гармоникой. В общем случае ряд Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих разных частот:
|
(2.1) |
где k - номер гармоники; - угловая частота k - ой гармоники;
ω 1 = ω =2 π / T - угловая частота первой гармоники; - нулевая гармоника.
Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2 приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить, что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала отсчета времени t будут изменяться начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину, измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в амперах, если это сигнал тока.
Разложение в ряд Фурье периодических функций
Таблица 2
График f (t ) |
Ряд Фурье функции f (t ) |
Примечание |
|
k=1,3,5,... |
|
|
k=1,3,5,... |
|
|
k=1,3,5,... |
|
|
k=1,2,3,4,5 |
|
|
k=1,3,5,... |
|
|
k=1,2,3,4,5 |
|
|
S=1,2,3,4,.. |
|
|
k=1,2,4,6,.. |
Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды посредством схем, использующих вентильные элементы.
Совокупность гармонических составляющих, образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный и фазовый спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.
Следует заметить, что начальные фазы в электротехнике принято измерять в пределах от –180 0 до +180 0 . Спектры, состоящие из отдельных линий, называют линейчатыми или дискретными . Спектральные линии находятся на расстоянии f друг от друга, где f - частотный интервал, равный частоте первой гармоники f .Таким образом, дискретные спектры периодических сигналов имеют спектральные составляющие с кратными частотами - f , 2f , 3f , 4f , 5f и т.д.
Пример 2.1. Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы, когда длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее значение функции за период равно нулю
u (t ) = Vпри0<t <T /2 |
u (t ) = -VприT /2<t <T |
Для сигналов простыхчасто используемых форм решение целесообразно находить с помощью таблиц.
Рис. 2.2. Линейчатый амплитудный спектр прямоугольного сигнала
Из разложения в ряд Фурье сигнала прямоугольной формы (см. табл.2 - 1) следует, что гармонический ряд содержит только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис. 2.2. При построении принято, что амплитуда первой гармоники (здесь напряжения) равна одному вольту: B; тогда амплитуда третьей гармоники будет равна B, пятой - B и т.д. Начальные фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет только нулевые значения ординат.
Задача решена.
Пример 2.2. Найти амплитудный и фазовый спектр для напряжения, изменяющегося по закону: при -T /4<t <T /4; u (t ) = 0 при T /4<t <3/4T . Такой сигнал формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием вентильных элементов) отрицательной части гармонического сигнала.
а)б)
Рис. 2.3. Линейчатый спектр сигнала однополупериодного выпрямления: а)амплитудный; б)фазовый
Для сигнала однополупериодного выпрямления синусоидального напряжения (см. табл.2 - 8) ряд Фурье содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор только четных гармоник, амплитуды которых быстро убывают с ростом номера гармоники. Если, например, положить величину V = 100 B, то, умножив каждое слагаемое на общий множитель 2V/π , найдем (2.2)
Амплитудный и фазовый спектры этого сигнала изображены на рис.2.3а,б.
Задача решена.
В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T , то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6, при выполнении условия τ <<T . Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.