г) Фазовый признак. Отличит. признаком является фаза импульса, q Ф £ ¥ (q Ф реал. » 2¸3)

д) Частотный признак. q Ч ³ 2 (q Ч реал. » 2¸3)

9. Сообщение и их виды

Величины, характеризующие тот или иной контролируемый процесс как правило имеют случайный характер, т.е. не м.б. известными. Если случайная величина может принимать конечное число значений, то ее наз. дискретной по множеству. Если же случайная величина может принимать бесконечное число своих значений, то ее называют непрерывной по множеству. В общем случае получаемое сообщение представляет собой функцию времени. По виду получающейся функции все сообщения можно классифицировать следующим образом:

1. Непр. по множеству и времени (просто непрерывные). В этом случае ф-я х(t), характеризующая передаваемые сообщения, имеет непрерывное множество значений и изменияется непрерывно во времени. Такого рода сообщения характерны для телеизмерений.

2. Непр. по времени и дискретные по множеству. В этом случае ф-я x(t) может принимать только вполне определенные заранее заданные значения и может изменять их в произвольный мом. вр.

3. Непр. по мн-ву и дискретные по времени. В этом случае ф-я x(t) может приниметь любые зн-я из области сущ-я, но только в фиксир. мом. вр.

4. Дискретный по мн-ву и времени. Ф-я может принимать только фиксир. зн-я в фиксир. мом. вр.

10. Квантование сигналов, назначение и виды

Передача информации в информационных управляющих системах может осуществляться, как с помощью непрерывных, так и дискретных сигналов.

Использование дискретных сигналов в некоторых случаях оказывается более предпочтительным, так как дискретные сигналы меньше подвержены искажениям при передаче, эти искажения легче обнаруживаются. А самое главное дискретные сигналы более удобны для использования и обработки цифровыми устройствами информационных систем.

С другой стороны большинство первичных сигналов, снимаемых с датчиков, являются непрерывными, в связи с этим возникает проблема эффективного преобразования непрерывных сигналов в дискретных и наоборот.

Процесс процедуры преобразования непрерывной физической величины в дискретную, называется квантованием.

виды квантования :

1) Квантование по уровню , при этом непрерывная функция, описывающая первичный сигнал заменяется ее отдельными значениями, отстоящим друг от друга на некоторый конечный интервал (уровень). Соответственно, мгновенные значения функции заменяются ее ближайшими дискретными значениями, называемыми уровнями квантования, интервал между двумя соседними значениями уровнями, называется шагом квантования. Шаг квантования может быть как постоянным (равномерное квантование), либо переменным (неравномерным квантованием). Точность преобразования непрерывного дискретного сигнала зависит от величины шага квантования. Эта точность оценивается расхождением между истинным значением функции и квантованным. Величина этого расхождения называется ошибкой (шум квантования).

При передаче сигнала по каналу связи на этот сигнал могут воздействовать те или иные помехи, искажающие этот первичный сигнал. Если при этом известно максимальное значение этой помехи , то можно выбрать шаг квантования и вторично проквантовать сигнал на приемной стороне, то можно очистить принятый сигнал от влияния помех, поскольку .

Таким образом, повторное квантование позволяет восстановить искаженный помехой сигнал. Однако надо иметь в виду, что при этом ошибка квантования сохраняется. Положительным моментом при этом является то, что ошибка квантования заранее известна. Таким образом, удается избежать накопления помех и качество передачи сигналов возрастает.

2) Квантование по времени (дискретизация). В этом случае непрерывная функция заменяется ее отдельными значениями времени в фиксированные моменты времени. Отчеты значений первичного сигнала производятся через некоторый промежуток , этот интервал называется шагом квантования. Чем меньше выбран интервал , тем больше точка на приемной стороне сможет быть восстановлена передаваемая функция. С другой стороны, при смешанном мелком шаге дискретизация снижается скорость передачи данных, также повышается требования к полосе пропускания канала связи.

, , , .

При смешанном крупном шаге квантования существенно уменьшается точность воспроизведения функции на приеме.

3) Квантование по уровню и времени . В ряде случаев, оказывается, целесообразно использовать смешанный вид квантования по уровню. В этом случае сигнал предварительно квантуется по уровню, а отчеты получившегося квантования сообщения производят через заданный промежуток времени. При этом:

11. Дискретизация сигналов и требования к ним.

Теорема Котельникова м ее практическое значение

Для использования преимуществ цифровых устройств в системах передачи и обработки информации возникает необходимость в преобразовании непрерывных сигналов в дискретные. С этой целью наиболее часто используется методы дискретизации, т.е. квантование по времени, при постоянном шаге дискретизации. Методы равномерной дискретизации получили наиболее широкое применение, поскольку неравномерная дискретизация является крайне неудобной и мало пригодной для технических целей. Поскольку не позволяет осуществлять синхронизацию отдельных устройств СПД и затрудняет процесс восстановления сигнала по приемной стороне.

В случае использования равномерной дискретизации возникает вопрос о выборе оптимального (предельного) шага дискретизации.

В 1933 г. академиком Котельниковом была доказана теорема, играющая важную роль в теории информации.

Теоремы: любая непрерывная функция , частный спектр, который ограничивается сверху некоторым значением частоты , может быть полностью и без ошибочно восстановлена по ее дискретным значениям (отчеты), взятым через интервал времени.

(*)

Дискретизация – переход от непрерывного сигнала к близкому (в определенном смысле) дискретному сигналу, описываемому разрывной функцией времени. Пример дискретного сигнала – последовательность коротких импульсов с изменяющейся амплитудой (последняя выступает в данном случае в качестве информативного параметра).

Обработка и передача дискретной информации имеет ряд преимуществ по сравнению с информацией, заданной в непрерывном виде. Дискретные сигналы в меньшей степени подвержены искажениям в процессе передачи и хранения, они легко преобразуются в двоичный цифровой код и обрабатываются с помощью цифровых вычислительных устройств.

Процесс дискретизации состоит обычно из двух этапов: дискретизации по времени и дискретизации (квантования) по уровню.

Дискретизация аналогового сигнала по времени – процесс формирования выборки аналогового сигнала в моменты времени, кратные периоду дискретизирующей последовательности ∆t.

Дискретизирующая последовательность – периодическая последовательность отсчетов времени, задающая сетку дискретного времени.

Период дискретизации ∆t – интервал времени между двумя последовательными отсчетами аналогового сигнала (шаг дискретизации по времени).

При выборе частоты дискретизации по времени можно воспользоваться теоремой В.А. Котельникова.

Теорема отсчетов (теорема Котельникова) – теорема, определяющая выбор периода дискретизации ∆t аналогового сигнала в соответствии с его спектральной характеристикой.

Согласно теореме, всякий непрерывный сигнал, имеющий ограниченный частотный спектр, полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчета, отстоящие друг от друга на интервалы времени ∆t = l/(2F max), где F max – максимальная частота в спектре сигнала. Иначе, дискретизация по времени не связана с потерей информации, если частота дискретизации f дискр = 1/∆t в два раза выше указанной верхней частоты сигнала F max.

Согласно теореме Котельникова, нет необходимости передавать бесконечное множество всех значений непрерывного сигнала x (t ), достаточно передавать лишь те его значения (рис. 3.52), которые отстоят друг от друга на расстоянии ∆t = l/(2Fmax ). Для восстановления сигнала x (t ) на вход идеального фильтра низких частот, имеющего полосу пропускания частот от 0 до F msx, необходимо подать последовательность узких импульсов с амплитудой, соответствующей дискретным отсчетам сигнала x (t i) в моменты времени t i = i ∆t .

Рис. 3.52. Дискретные отсчеты сигнала

Поскольку теорема отсчетов (теорема Котельникова) сформулирована для сигнала с ограниченным спектром, а реальные сигналы имеют неограниченную спектральную плотность, то при расчетах ∆t =1/(2F max) используют приближенное значение F max (например, активную ширину спектра, определенную по амплитудному критерию, по критерию 90%-ного содержания энергии или средней мощности сигнала). Кроме того, и идеальный фильтр низких частот, необходимый для восстановления сигнала в соответствии с теоремой, является физически нереализуемым, так как предъявляемые к нему требования (идеально прямоугольная форма амплитудно-частотной характеристики, отсутствие фазового сдвига в рассматриваемой полосе частот от 0 до F max) оказываются противоречивыми и могут выполняться лишь с определенной погрешностью. Учитывая сказанное, частоту дискретизации по времени обычно принимают в 1,5–2,5 раза больше значения, рассчитанного по теореме Котельникова.

Существуют и другие способы выбора частоты дискретизации сигнала (с учетом времени корреляции передаваемого сообщения, значения наибольшего или среднеквадратичного отклонения процесса). Так, в соответствии с критерием Н.А. Железнова, который выполняется для случайных сигналов, имеющих конечную длительность Т с и неограниченный частотный спектр, рекомендуется принимать шаг дискретизации ∆t , равный максимальному интервалу корреляции сигнала φ0. Предполагается, что параметр φ0, характеризует такой промежуток времени, в пределах которого отдельные значения случайного процесса можно считать статистически зависимыми (коррелированными), причем φ0Т с. Таким образом, исходный непрерывный сигнал заменяется совокупностью N =Т с/φ0 некоррелированных отсчетов (импульсов), следующих с частотой f дискр=1/∆t = φ0. При этом восстановление сигнала x (t ) осуществляется с помощью линейного прогнозирующего фильтра со среднеквадратической ошибкой, сколь угодно мало отличающейся от нуля в промежутке времени, равном интервалу корреляции φ0.

Более полно учитывая свойства реальных сигналов (конечная длительность, неограниченность спектра), критерий Железнова тем не менее исходит из допущения о равенстве нулю корреляционной функции сигнала К х(φ) вне интервала [-φ0; φ0], что на практике выполняется с определенной погрешностью.

В тех случаях, когда имеется более подробная информация о законе изменения сигнала, выбор частоты дискретизации можно осуществлять исходя из допустимой погрешности аппроксимации функции x (t ) на каждом из интервалов дискретизации. На рис. 3.53 дан пример кусочно-линейной аппроксимации, когда соседние отсчеты функции x (t ), взятые в дискретные моменты времени t i и t i+1, соединяются отрезками прямых.

Рис. 3.53. Кусочно-линейная аппроксимация

Рассмотренные способы равномерной дискретизации (при ∆t =const) иногда могут приводить к получению избыточных отсчетов, не оказывающих существенного влияния на процесс восстановления исходного сообщения. Например, если функция x (t ) мало изменяется на некотором, достаточно протяженном интервале времени Т о, то соответствующие дискретные отсчеты сигнала практически не отличаются друг от друга и, следовательно, нет необходимости использовать все указанные отсчеты для хранения или передачи информации по линии связи. Сокращение избыточной информации возможно на основе способов адаптивной (неравномерной) дискретизации, обеспечивающих выбор интервала ∆t между соседними отсчетами с учетом фактического изменения характеристик сигнала (в частности скорости его изменения).

Дискретизация сигнала по уровню – процесс отображения бесконечного множества значений аналогового сигнала на некоторое конечное множество (определяемое числом уровней квантования).

Отличительной особенностью дискретизации по уровню является замена непрерывной шкалы уровней сигнала x (t ) дискретной шкалой х i (i = 1, 2, ..., m ), в которой различные значения сигнала отличаются между собой не менее чем на некоторое фиксированное (или выбираемое в процессе квантования) значение ∆t , называемое шагом квантования.

Шаг квантования – величина, равная интервалу между двумя соседними уровнями кванто-вания (определена только для случая равномерного квантования).

Необходимость квантования вызвана тем, что цифровые вычислительные устройства могут оперировать только с числами, имеющими конечное число разрядов. Таким образом, квантование представляет собой округление передаваемых значений с заданной точностью. При равномерном квантовании (∆x =const) число разрешенных дискретных уровней х составляет

m = (x max – x min)/∆x ,

где x max и x min – соответственно верхняя и нижняя границы диапазона изменения сигнала.

Ошибка квантования – величина, определяемая как ξ(х ) = х – х дi, где х – кодируемая дискретная величина, х дi– дискретизированный сигнал.

Шум квантования – случайная функция времени, определяемая как зависимость ошибки квантования от времени.

Чем меньше значение ∆х , тем меньше получаемая ошибка. Если в результате квантования любое из значений сигнала x (t ), попавшее в интервал (х дi - ∆х /2; х дi + х дi х /2), округляется до х д, то возникающая при этом ошибка ξ(х ) не превышает половины шага квантования, т.е. mах|ξ(х )|=0,5∆х . На практике шаг квантования ∆х выбирают исходя из уровня помех, в той или иной форме присутствующих при измерении, передаче и обработке реальных сигналов.

Если функция x (t ) заранее неизвестна, а шаг квантования ∆х достаточно мал по сравнению с диапазоном изменения сигнала (х max – х min), то принято считать ошибку квантования ξ(х ) случайной величиной, подчиняющейся равномерному закону распределения. Тогда, как показано на рис. 3.54, плотность вероятности f 1(ξ) для случайной величины ξ, принимает значение 1/(∆х ) внутри интервала (-∆х /2; +∆х /2) и равна нулю вне этого интервала.

Рис. 3.54. Равномерный закон распределения ошибки квантования

При ∆x =const относительная погрешность квантования ∆х =ξ(х )/х существенно зависит от текущего значения сигнала x (t ). В связи с этим при необходимости обработки и передачи сигналов, изменяющихся в широком диапазоне, нередко используется неравномерное (нелинейное) квантование, когда шаг ∆х принимается малым для сигналов низкого уровня и увеличивается с ростом соответствующих значений сигнала (например ∆х выбирают пропорционально логарифму значения |x (t )|). Выбор шага ∆х i =х дi – х дi-1 осуществляется еще и с учетом плотности распределения случайного сигнала (для более вероятных значений сигнала шаг квантования выбирают меньшим, для менее вероятных – большим). Таким образом удается обеспечить высокую точность преобразования при ограниченном (не слишком большом) числе разрешенных дискретных уровней сигнала x (t ).

Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называют кодированием информации, а множество различных кодовых комбинаций, получаемых при данном правиле кодирования, – кодом. Важной характеристикой кода является основание (или значность) кода, т.е. число возможных значений, которые могут принимать элементы кодовой комбинации. Пусть требуется передать сигнал, уровень которого изменяется от 0 до 10 В. Если шаг квантования данных составляет 10 мВ, то каждый отсчет сигнала можно рассматривать как одно из 1000 возможных сообщений. Для передачи этой информации можно предложить различные способы:

– каждому сообщению поставить в соответствие определенный уровень напряжения, при этом основание кода m = 1000, а длина кодовой комбинации (слова) принимает минимальное значение n =1;

– можно воспользоваться двоичным (бинарным) представлением амплитуды сигнала с m = 2, но тогда потребуется комбинация длины n = 10 (210=1024, так что некоторые комбинации здесь не использованы).

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХПІ»

Кафедра «Обчислювальна техніка та програмування»

з курсу «Теорія інформації та кодування»

«Квантование сигналов»

Введение

Передача дискретных сигналов по каналам связи удобней и надежней, чем передача непрерывных сигналов, т. к. дискретные сигналы обладают лучшей помехозащищенностью, позволяют проще организовать многоканальную связь, кроме того, дискретные сигналы можно непосредственно обрабатывать с помощью ЭВМ.

Квантование (дискретизация) - процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный. При этом используются следующие виды квантования: по времени; по амплитуде (уровню); комбинированное; специальные виды квантования.

1. Квантование по времени

При квантовании по времени функция x(t) непрерывного аргумента преобразуется в функцию дискретного аргумента - решетчатую функцию, представляющую совокупность значений непрерывной функции в дискретные моменты времени.

Рис. 1. Квантование по времени

Шаг квантования -временной интервал между двумя фиксированными моментами времени

Частота квантования f k = 1/t должна быть такой, чтобы по значениям решетчатой функции- x(t i ) можно было восстановить исходную непрерывную функцию с заданной точностью. Восстановленную функцию x(t) называют воспроизводящей. При временном квантовании возникает задача выбора частоты квантования, при этом, могут быть использованы различные критерии. Чаще всего, дискретизацию осуществляют на основании теоремы Котельникова.

Формулировка теоремы Котельникова: Функцию x(t) удовлетворяющую условиям Дирихле (ограниченную, кусочно-непрерывную и имеющую конечное число экстремумов), можно достаточно точно восстановить по ее отсчетам взятым через интервал времени t = 1/2f c =/ c , где - верхняя частота спектра функции а- круговая частота.

Значения функции x(t) в любой момент времени t определяется рядом Котельникова:

где - отсчеты (значения) функцииx(t) в дискретные моменты времени t = nt ; - функция отсчетов, которая представляет собой СБФ.

Для доказательства теоремы рассмотрим формулы Фурье

, , (2)

где- комплексный частотный спектр функцииx(t) .

В пределах диапазона [- c , ; + c ], сигнал x(t) можно представить интегралом Фурье через его частотный спектр

. (3)

Комплексный спектр можно отобразить рядом Фурье

. (4)

Где коэффициенты разложения равны

. (5)

Подставляя (5) в (4), а затем полученное выражение в (3) получим

Ряд Котельникова для x(t) с ограниченным спектром на конечном интервале T может быть представлен:

, (6)

где B = T/t = 2fT - база сигнала.

Рассмотрим функцию отсчетов сигналов

. (7)

Эта функция равна 1 при Z = 0, т. е. , и 0 при, где

Функция отсчета sinz/z представляет собой реакцию идеального фильтра НЧ на единичный импульс.

Если на приемной стороне поместить фильтр и пропустить через него квантованный сигнал, представляющий последовательность импульсов, амплитуды которых пропорциональны отсчетам непрерывной функции с частотой .

Если эти сигналы выхода фильтра просуммировать, то получим воспроизводящую функцию.

Рис. 2. Функция отсчетов

Недостатки квантования с использованием метода Котельникова:

1. Теорема сформулирована для сигналов с ограниченным спектром и неограниченным временем - на практике наоборот спектр неограничен, а время ограничено. Спектр можно ограничить, пропустив сигнал через фильтр НЧ или полосовой фильтр.

2. При передаче импульсных сигналов шаг квантования выбирается для самых крутых участков, т. к. квантование равномерное, то канал будет перегружен, и обладать большой избыточностью. Трудно реализовать схему восстановления сигнала, т. к. необходимо много сумматоров.

Существуют другие принципы дискретизации: критерий Железнова, который использует неравномерное квантование, при этом шаг квантования выбирается, в зависимости от корреляция между значениями сигнала; критерий Темникова, который также использует неравномерное квантование, при этом, пока производная постоянна сигнал не квантуется.

2. Квантование по уровню

При квантовании по уровню (амплитуде) бесконечное множество возможных значений непрерывного сигнала x(t) заменяется конечным множеством дискретных значений x*(t) .

В результате квантования образуется ступенчатая функция (рис. 3).

Может быть использовано два способа квантования, при этом, мгновенное значение непрерывной функции заменятся меньшим дискретным значением или ближайшим.

x(t), x*(t) x(t), x*(t)

Рис.6.3. Квантование по уровню

Различают равномерное квантование, при котором диапазон изменения x(t) от x min до x max разбивается на N уровней с шагом ,называемых шагом квантования

При неравномерном квантовании шаг не постоянный. При замене действительных мгновенных значений функции на дискретные появляются методические погрешности, называемые шумом квантования (погрешность квантования по уровню). Эта погрешность носит случайный характер и для ее оценки необходимо использовать статические характеристики

При этом точку переключения необходимо выбирать так, чтобы эти характеристики были минимальными.

Рис. 4. Погрешности квантования

Плотность распределений, при большом числе уровней квантования, подчинятся закону равной плотности вероятности имеют вид, приведенный на рис. 4, и определяется соотношением:

В зависимости от используемого способа квантования, плотность вероятности и статистические характеристики погрешностей имеют вид:

Математическое ожидание погрешностей

(11)

Дисперсия погрешности

Среднеквадратическая ошибка

.

Если в результате квантования по уровню, значение сигнала выдается в двоичном коде с ценой младшего разряда, равного шагу квантования, то число двоичных разрядов и уровней квантования будет равно:

; ,

где добавление 1 соответствует учету первого уровня.

3. Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании сигнал квантуется по времени и кроме того, в тактовых точках квантуется по уровню.

Рис. 5. Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании амплитуда импульса равна ближайшему значению уровня, при этом величина ошибки квантования равна

то математическое ожидание ошибки равно

а среднеквадратичная ошибка за счет квантования по уровню уменьшается с увеличением частоты квантования

.

Недостаток комбинированного квантования заключается в сложности реализации дешифрующих устройств. При этом вместо комбинированного квантования чаще всего используют кодоимпульсную модуляцию.

Пример 1. В измерительном приборе расстояние между метками шкалы постоянно и равно x = a . При округлении отсчета до ближайшего целого деления погрешность по абсолютной величине не превышает половины расстояния между делением шкалы.

Найти плотность распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсию округления.

Решение: Погрешность округления можно рассматривать как случайную величину x , принимающую с равной вероятностью любые значения в пределах от -x/2 до x/2 . Следовательно, плотность вероятности на этом интервале постоянна и равна нулю за этими пределами (10).

Математическое ожидание равно:

Дисперсия ошибки округления равна:

.

Среднеквадратическая ошибка равна:

Список литературы

А.В. Власенко, В.И. Ключко - Теория информации и сигналов. Учебное пособие / Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2003.- 97 с.

Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.

Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.

Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.

Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1988.

Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский

Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 2000.

Хемминг Р.В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. / Под ред. А.М. Трахтмана. - М.: Сов. радио, 1980.

Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов / А.Б. Сергиенко – СПб.: Питер, 2003. – 604 с.: ил.

Рис. Квантование сигнала по уровню:

а – с постоянным шагом квантования; б – погрешности квантования; в – квантование с переменным шагом

По оси ординат откладывается величина заранее выбранного шага квантования q и проводятся линии, параллельные оси времени, обозначающие уровни квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования, так как в этот момент абсолютная погрешность квантование ∆ к.у. оказывается наибольшей. Действительно, если значение функции находится в середине между двумя уровнями (точки а, б, в…), то возникает неопределенность, так как функция равноудалена от обоих уровней. Так, например, если значение функции в точке в возникает на бесконечно малую величину, то это новое значение целесообразно отнести к уровню 3. Наоборот, значение функции, несколько меньше значения в точки в, будет заменено уровнем 2. Исходя из сказанного процесс квантования осуществляется следующим образом: интервал квантования делится пополам, и проводится пунктирные горизонтальные линии до их пересечения с квантуемой функцией. Точки пересечения обозначаются буквами (а , b , c , d и т.д.), в них значение функции передается наименее точно, возникает ошибка квантования ∆к.у., равная разности между значением функции λ(t ) и ближайшим уровнем. Так как наименее точно функция передается в точке, находящейся между двумя уровнями квантования и отстоящей от них на половину интервала квантования q /2, то максимальная ошибка квантования по уровню определится как

(2.1)

Здесь + q /2 - максимальная положительная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 2, а - q /2 – максимальная отрицательная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 3. Погрешность квантования представлены на рис. б), на котором на оси времени отложены отрезки уровней квантования, пересекаемые функцией.

Так, функция между точками k и a пересекает уровень 2. Этот уровень отложен на оси t (рис. г.б), и проведен отрезок функции k-a . На участке а-b функция хотя и не пересекает ни один из уровней, но так как она проходит ближе к уровню 1, то отрезок этого уровня откладывается на оси времени. В этом диапазоне от точки а до точки b погрешность отсчитывается от уровня 1 и будет только положительная. На других участках имеет место погрешность и положительная, и отрицательная.

Таким образом, в результате квантования функции (t ), произведенного по определенному правилу, был отобран ряд дискретных значений этой функции в точках а, b, c, d и т.д. Отбором точек и заканчивается собственно процесс квантования. Если же необходимо представить себе полностью форму той функции, которая заменила функцию (t ), поступают следующим образом. Через точки а, b, c, d и т. д. проводят вертикальные отрезки (до их пересечения с уровнями), которые затем соединяются горизонтальными отрезками, образуя ступенчатую квантованную функцию Из рис. г), а) следует, что квантованная ступенчатая функция как бы обходит с двух сторон (выше и ниже) непрерывную функцию это позволяет рассматривать квантование как результат положения на функцию помехи ∆(t), которую называют шумом или помехой квантования.

Как следует из рис. а), число уровней квантования N на единицу больше числа интервала N – 1.

Если сообщение ограничено диапазоном от до , то

.

При имеем

Что касается точности преобразования (квантования), то обычно она задается в виде значения приведенной относительной погрешности (в %), которая по определению равна . При описанном выше методе квантование (рис. б) погрешность не может превышать q /2, т.е. при подсчете нужно учитывать (2-1). Таким образом, считая, что (это достигается соответствующим расположением осей координат) получим

(2-4)

и шаг квантования при заданной погрешности квантования равен

(2-5)

Пример 2-1. Предположим, необходимо провести квантование непрерывной функции, от нуля до 100 В, с точностью . Согласно (2-5) q = 2В. Из (2-3) определяем, что необходим 51 уровень квантования.

Замена действительного значения функции ее ближайшим значением создает погрешность квантования, которая может принять любые величины от – q /2 до + q /2 (рис. б). При достаточно большом числе уровней квантование N распределение погрешности квантования в пределах от – q /2 до + q /2 будет равномерное независимо от закона распределения самой функции . Средне – квадратичное значение погрешности квантования по уровню

т. е. в раз меньше максимальной ошибки.

Неравномерное квантование по уровню. Некоторые функции, подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с переменным шагом квантования Так, на рис. г) показана нелинейная зависимость тока I от напряжения U . Если необходимо при измерении получить равномерную шкалу напряжений, то отсчет по току надо вести с переменным шагом q , уменьшая его с ростом амплитуды. Могут быть и другие варианты изменения шага квантования. Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

О восстановлении функции, квантованной по уровню . Квантование по уровню осуществляется для последующего кодирования, т.е. каждый уровень квантованной функции передается кодом.

На приемной стороне кодовая комбинация, поступая на дешифратор, преобразуется в ток или напряжения, которые используются по назначению (отклоняют стрелку прибора, изменяют показания цифровых индикаторов и т.д.). Принятая квантованная функция в своем первоначальном (непрерывном) виде на приеме обычно не восстанавливается, хотя это можно сделать путем линейной или более сложной интерполяции. Простейшая ступенчатая интерполяция функции была осуществлена, когда мы горизонтальными отрезками соединяли вертикальные отрезки, образуя функцию (рис. а).

Квантование по времени (дискретизация)

Если замена непрерывной функции её отдельными значениями производится в определенные моменты времени, то этот процесс называется квантованием по времени , или дискретизацией. На рис. а) показано, что горизонтальная ось времени делится на интервалы, отстоящие друг от друга на один и тот же интервал квантования .

Далее проводят вертикальные линии до пересечения с квантуемой функцией в точках 1, 2, 3, ..., 9 и определяют значения функции, начиная с Это значит, что в интервале Т непрерывная функция будет передаваться не бесконечным рядом значений, а в данном случае всего лишь десятью значениями. Нахождение точек, определяющих значение непрерывной функции в дискретные моменты времени, как и в квантовании по уровню, собственно процесс квантование по времени и заканчивается.

В том случае, если желают восстановить квантованную функцию, осуществляют один из видов интерполяции, например, ступенчатую. При этом проводят из точек 0, 1, 2, ..., 9 горизонтальные линии до пересечения их с вертикальными линиями, т.е. линии 0-1", 1- 2" и т.д. Далее точки 1"-1, 2"-2, 3"-3 и т.д. соединяют и получают ломаную квантованную функцию "(t ).

Очевидно, что чем больше дискретных значений передается за время Т , т.е. чем меньше шаг квантования t , тем с большей точностью будет восстановлена на приеме функция Однако излишне малая величина t увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.

Рис. Квантование сообщения по времени:

а – метод квантования и восстановление функции ступенчатой интерполяцией; б – погрешности квантования; в – восстановление функции линейной интерполяцией

Шаг квантования можно определить из теоремы Котельникова, смысл которого заключается в следующим: любая непрерывная функция, спектр частот которой ограничен частотой F макс, может быть полностью восстановлена по ее дискретным значением, взятым через интервалы времени

Однако имеется ряд ограничений для практичного применения этой теоремы. Так, все сообщения, передаваемые в телемеханике, ограничения во времени. Это обычно видео или радио импульсы длительностью τ, у которых согласно (1-14) и (1-22) спектр бесконечен. Поэтому представляет значительные трудности выбор величины F макс в (2-7) для функции, ограниченных во времени. Так, например, если предавать синусоидальное напряжение с частотой в 50 Гц бесконечно долго во времени, то согласно (2-7) для восстановления его формы его формы на приеме достаточно передать за период лишь два импульса, соответствующих амплитудным значениям: один – положительной полуволне, другой – отрицательной. если же предавать синусоидальное напряжение в конечном отрезке времени, например, то для восстановления формы этого радиоимпульса необходимо уже не два, а значительно больше импульсов, хотя точно указать их число невозможно из – за того, что спектр частот радиоимпульсов бесконечен.

практически теореме Котельникова можно принять со следующей поправкой:

(2-8)

где η – коэффициент, зависящий от точности воспроизведения функции и способа интерполяции: при линейной η л = 0,75/и при ступенчатой η ст = (3-5)η л (δ – относительная погрешность в %)

Существует и другой подход определения шага квантования, исходящий из задаваемой величины погрешности. для примера на рис. б) начерчены в виде фигур, близких к треугольникам, величины абсолютных погрешностей, возникающих при квантовании; эти фигуры подобны токовым же на рис. а). на рис. б) показано, что заданная величина абсолютной погрешности ∆ 3 на одном участке нарастания функции λ(t ) достигается за период ∆t , на другом за ∆t 2 , а на некоторых она оказывается меньше заданной (например, на участке 1` - 2`). Это зависит от скорости нарастания функции λ=dλ/dt . Очевидно, следует выбрать такой шаг квантования, который соответствует максимальной скорости нарастания функции . Так, из рис. а) следует, что если бы на участке кривой 5-6 имелся всплеск функции (пунктир), то выбранный шаг квантования t оказался бы излишне большим и этот всплеск не был бы восстановлен (следовало бы взять шаг ).

Величина абсолютной погрешности показана на рис. б). Здесь, как и в квантовании по уровню, при расчетах следует учитывать или , или , т.е. в среднем /2. Это значит, что = 100/2. Подставляя отсюда значение в (2-9), а значение из (2-11), получаем

Формула выведена с учетом восстановления функции при помощи ступенчатой интерполяции.

Пример 2-2. Найти ∆t при квантовании синусоидального напряжения частоты F = 50 Гц. Погрешности при восстановлении δ = 1% . Согласно (2-7) ∆t = 1/2*50*10 -3 =10мм, т.е. в идеальном случае каждую полуволну синусоиды можно передавать лишь одним значением [период τ= 1/(50*10 -3)=20мм]. η л.и. =0,75/ 0,75/ = 7,5, то для ступенчатой интерполяции η ст =25 и ∆t ст = 1/25*2*50*10 -3 =0,4 мсек.. Так же результат получается и из (2-11). Таким образом, при заданной точности восстановления, каждый полупериод синусоиды следует предавать одним значением, а примерно 25 при ступенчатой интерполяции и 7,5 при линейной.

Восстановить квантованную по времени функцию на приемной стороне можно при помощи ступенчатой или линейной интерполяции или используя метод Котельникова. Чаще всего применяется ступенчатая интерполяция, и наиболее редко используется фильтрация по Котельникову. Ступенчатая интерполяция на рис. а) выполняется с помощью запоминающих устройств, сохраняющих значения до появления следующего значения

Погрешность от ступенчатой интерполяции изображена на рис. б). Причем под погрешностью интерполяции понимается разность между мгновенными значениями восстановленного и исходного символов, взятых в одни и те же моменты времени. Максимальная погрешность возникает в точках 1", 2", ..., 9". Погрешность равна нулю в точках 1, 2, 3, ..., 9. В общем случае задаются среднеквадратичные значения этой погрешности:

где n – число замеров.

При восстановлении квантованной функции по Котельникову нужно знать все дискретные точки, как предыдущие, так и последующие, или во всяком случае для практической реализации должно быть известно несколько точек до и после интервала, в котором происходит интерполяция. Знание последующих точек возможно, лишь в системах, допускающих запаздывание в передаче информации. Большинство телемеханических систем работает в реальном масштабе времени и не допускает запаздывания. В таких системах приходится использовать ступенчатую интерполяцию, так как для линейной, нужно знать наперед хотя бы одну точку, что опять требует запаздывания. Действительно, если, например, известно значение функции в момент t 4 (рис. а), т. 4), то при ступенчатой интерполяции нам заранее известно, что через ∆t значение функции будет тем же (т. 5`). Каким оно будет при линейной интерполяции через интервал ∆t , неизвестно: то ли значение возрастает (т. 5), то ли уменьшится (т. 5 2).

Иногда восстановление функции, квантованной по времени, с шагом, подсчитанным по теореме Котельникова, производится при помощи фильтра НЧ, который выделяет постоянную составляющую и низкочастотные составляющие, соответствующие спектру передаваемой функции. Однако при этом возникают погрешности из–за того, что амплитудно–частотная характеристика реального фильтра отличается от характеристики идеального фильтра. Восстановление при помощи фильтра имеет смысл, если спектр передаваемой функции достаточно сосредоточен в области нуля по оси частот. Зачастую квантование по времени используется для осуществления амплитудно – импульсной модуляции.