Как решать функции нескольких переменных. Предел функции двух переменных.Понятие и примеры решений
Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.
Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z )называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z.
Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .
Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y).
Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел , являющихся аргументами функции нескольких переменных.
Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z )называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М , если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.
Обозначения: z = f , z = z .
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Рассмотрим функцию z = f(x,y) , (1.1)
Определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.
z = f(x,y)
Примерами могут служить изучаемые в предыдущем семестре уравнения плоскости
z = ax + by + c
и поверхностей второго порядка:
z = x ² + y ² (параболоид вращения),
(конус) и т.д.
Замечание. Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.
Линии и поверхности уровня.
Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .
Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами . Например, при с =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .
Для функции трех переменных u = u (x, y, z) уравнение u (x, y, z) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .
Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями 3x + 5y – 7z –12 + с = 0.
Предел функции двух переменных.
Понятие и примеры решений
Добро пожаловать на третий урок по теме ФНП , где наконец-то начали сбываться все ваши опасения =) Как многие подозревали, понятие предела распространяется и на функцию произвольного количества аргументов, в чём нам сегодня и предстоит разобраться. Однако есть оптимистичная новость. Она состоит в том, что при предел в известной степени абстрактен и соответствующие задания крайне редко встречаются на практике. В этой связи наше внимание будет сосредоточено на пределах функции двух переменных или, как мы чаще её записываем: .
Многие идеи, принципы и методы схожи с теорией и практикой «обычных» пределов, а значит, на данный момент вы должны уметь находить пределы и самое главное ПОНИМАТЬ, что такое предел функции одной переменной . И, коль скоро судьба привела вас на эту страничку, то, скорее всего, уже немало понимаете-умеете. А если и нет – ничего страшного, все пробелы реально заполнить в считанные часы и даже минуты.
События этого занятия разворачиваются в нашем трёхмерном мире, и поэтому будет просто огромным упущением не принять в них живое участие. Сначала соорудим хорошо известную декартову систему координат в пространстве . Давайте встанем и немного походим по комнате… …пол, по которому вы ходите – это плоскость . Поставим где-нибудь ось … ну, например, в любом углу, чтобы не мешалась на пути. Отлично. Теперь, пожалуйста, посмотрите вверх и представьте, что там зависло расправленное одеяло. Это поверхность , заданная функцией . Наше перемещение по полу, как нетрудно понять, имитирует изменение независимых переменных , и мы можем передвигаться исключительно под одеялом, т.е. в области определения функции двух переменных . Но самое интересное только начинается. Прямо над кончиком вашего носа по одеялу ползает маленький тараканчик, куда вы – туда и он. Назовём его Фредди. Его перемещение имитирует изменение соответствующих значений функции (за исключением тех случаев, когда поверхность либо её фрагменты параллельны плоскости и высота не меняется) . Уважаемый читатель с именем Фредди, не обижайся, так надо для науки.
Возьмём в руки шило и проткнём одеяло в произвольной точке, высоту которой обозначим через , после чего строго под отверстием воткнём инструмент в пол – это будет точка . Теперь начинаем бесконечно близко приближаться к данной точке , причём приближаться мы имеем право ПО ЛЮБОЙ траектории (каждая точка которой, разумеется, входит в область определения) . Если ВО ВСЕХ случаях Фредди будет бесконечно близко подползать к проколу на высоту и ИМЕННО НА ЭТУ ВЫСОТУ, то функция имеет предел в точке при :
Если при указанных условиях проколотая точка расположена на краю одеяла, то предел всё равно будет существовать – важно, чтобы в сколь угодно малой окрестности острия шила были хоть какие-то точки из области определения функции. Кроме того, как и в случае с пределом функции одной переменной , не имеет значения , определена ли функция в точке или нет. То есть наш прокол можно залепить жвачкой (считать, что функция двух переменных непрерывна ) и это не повлияет на ситуацию – вспоминаем, что сама суть предела подразумевает бесконечно близкое приближение , а не «точный заход» в точку.
Однако безоблачная жизнь омрачается тем фактом, что в отличие от своего младшего брата, предел гораздо более часто не существует. Это связано с тем, что к той или иной точке на плоскости обычно существует очень много путей, и каждый из них должен приводить Фредди строго к проколу (опционально «залепленному жвачкой») и строго на высоту . А причудливых поверхностей с не менее причудливыми разрывами хоть отбавляй, что приводит к нарушению этого жёсткого условия в некоторых точках.
Организуем простейший пример – возьмём в руки нож и разрежем одеяло таким образом, чтобы проколотая точка лежала на линии разреза. Заметьте, что предел всё ещё существует, единственное, мы потеряли право ступать в точки под линией разреза, так как этот участок «выпал» из области определения функции . Теперь аккуратно приподнимем левую часть одеяла вдоль оси , а правую его часть, наоборот – сдвинем вниз или даже оставим её на месте. Что изменилось? А принципиально изменилось следующее: если сейчас мы будем подходить к точке слева, то Фредди окажется на бОльшей высоте, чем, если бы мы приближались к данной точке справа. Таким образом, предела не существует.
И, конечно же, замечательные пределы , куда без них. Рассмотрим поучительный во всех смыслах пример:
Пример 11
Используем до боли знакомую тригонометрическую формулу , где и стандартным искусственным приёмом организуем первые замечательные пределы :
Перейдём к полярным координатам:
Если , то
Казалось бы, решение идёт к закономерной развязке и ничто не предвещает неприятностей, однако в самом конце существует большой риск допустить серьёзный недочёт, о характере которого я уже чуть-чуть намекнул в Примере 3 и подробно расписал после Примера 6. Сначала концовка, затем комментарий:
Давайте разберёмся, почему будет плохо записать просто «бесконечность» или «плюс бесконечность». Посмотрим на знаменатель: так как , то полярный радиус стремится к бесконечно малому
положительному значению: . Кроме того, . Таким образом, знак знаменателя и всего предела зависит только от косинуса:
, если полярный угол (2-я и 3-я координатные четверти: );
, если полярный угол (1-я и 4-я координатные четверти: )
.
Геометрически это означает, что если приближаться к началу координат слева, то поверхность, заданная функцией , простирается до бесконечности вниз:
Функции многих переменных
§1. Понятие функции многих переменных.
Пусть имеется n
переменных величин
.
Каждый набор
обозначает точкуn
-
мерного
множества
(п
-мерный
вектор).
Пусть даны множества
и
.
Опр
.
Если каждой точке
ставится в соответствие единственное
число
,
то говорят, что задана числовая функция
n
переменных:
.
называют областью определения,
- множеством значений данной функции.
В случае n
=2
вместо
обычно пишутx
,
y
,
z
.
Тогда функция двух переменных имеет
вид:
z = f (x , y ).
Например,
- функция двух переменных;
- функция трех переменных;
Линейная функция n переменных.
Опр
.
Графиком функции n
переменных называется n
-
мерная
гиперповерхность в пространстве
,
каждая точка которой задается координатами
Например, графиком
функции двух переменных z
=
f
(x
,
y
)
является
поверхность в трехмерном пространстве,
каждая точка которой задается координатами
(x
,
y
,
z
)
,
где
,
и
.
Поскольку график функции трех и более переменных изобразить не представляется возможным, в основном мы будем (для наглядности) рассматривать функции двух переменных.
Построение графиков функций двух переменных является довольно сложной задачей. Существенную помощь в ее решении может оказать построение так называемых линий уровня.
Опр . Линией уровня функции двух переменных z = f (x , y ) называется множество точек плоскости ХОУ , являющихся проекцией сечения графика функции плоскостью, параллельной ХОУ. В каждой точке линии уровня функция имеет одно и то же значение. Линии уровня описываются уравнением f (x , y )=с , где с – некоторое число. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести одну из них.
Опр
.
Поверхностью уровня функции n
переменных y
=
f
(
)
называется гиперповерхность в пространстве
,
в каждой точке которой значение функции
постоянно и равно некоторому значениюс
.
Уравнение поверхности уровня: f
(
)=с.
Пример . Построить график функции двух переменных
.
.
При с=1:
;
.
При с=4:
;
.
При с=9:
;
.
Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых уменьшается с ростом z .
§2. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Для функций многих переменных определяются те же понятия, что и для функции одной переменной. Например, можно дать определения предела и непрерывности функции.
Опр
.
Число А называется пределом функции
двух переменных z
=
f
(x
,
y
)
при
,
и обозначается
,
если для любого положительного числанайдется положительное число,
такое, что если точка
удалена от точки
на расстояние меньше,
то величиныf
(x
,
y
)
и А отличаются
меньше чем на
.
Опр
.
Если функция z
=
f
(x
,
y
)
определена в точке
и имеет в этой точке предел, равный
значению функции
,
то она называется непрерывной в данной
точке.
.
§3. Частные производные функции многих переменных.
Рассмотрим функцию
двух переменных
.
Зафиксируем
значение одного из ее аргументов,
например
,
положив
.
Тогда функция
есть функция одной переменной.
Пусть она имеет производную в точке:
.
Данная производная
называется частной производной (или
частной производной первого порядка)
функции
пов точке
и обозначается:
;
;
;
.
Разность
называется частным приращением пои обозначается
:
Учитывая приведенные обозначения, можно записать
.
Аналогично определяется
.
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.
При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных.
Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.
Например, функция
имеет четыре частных производных второго
порядка, которые обозначаются следующим
образом:
;
;
;
.
и
- смешанные частные производные.
Пример. Найти частные производные второго порядка для функции
.
Решение.
,
.
,
.
,
.
Задание .
1. Найти частные производные второго порядка для функций
,
;
2. Для функции
доказать, что
.
Полный дифференциал функции многих переменных.
При одновременном
изменении величин х
и у
функция
изменится на величину,
называемую полным приращением функцииz
в точке
.
Так же, как и в случае функции одной
переменной, возникает задача о
приближенной замене приращения
на линейную функцию от
и
.
Роль линейного приближения выполняетполный
дифференциал
функции:
Полный дифференциал второго порядка:
=
.
=
.
В общем виде полный дифференциал п -го порядка имеет вид:
Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция
z
=
f
(x
,
y
)
определена в некоторой окрестности
точки M(x
,
y
)
и
- некоторое направление, задаваемое
единичным вектором
.
Координаты единичного вектора выражаются
через косинусы углов, образуемых вектором
и осями координат и называемых
направляющими косинусами:
,
.
При перемещении
точки M(x
,
y
)
в данном направлении l
в точку
функцияz
получит приращение
называемое приращением функции в данном направлении l .
Если ММ 1 =∆l , то
Т огда
О пр . Производной функции z = f (x , y ) по направлению называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆l при стремлении последней к нулю:
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. Очевидно, что частные производные ипредставляют собой производные по направлениям, параллельным осямOx и Oy . Нетрудно показать, что
Пример
.
Вычислить производную функции
в точке (1;1) по направлению
.
Опр . Градиентом функции z = f (x , y ) называется вектор с координатами, равными частным производным:
.
Рассмотрим скалярное
произведение векторов
и
:
Легко видеть, что
,
т.е. производная по направлению равна
скалярному произведению градиента и
единичного вектора направления.
Поскольку
,
то скалярное произведение максимально,
когда векторы одинаково направлены.
Таким образом, градиент функции в точке
задает направление наискорейшего
возрастания функции в этой точке, а
модуль градиента равен максимальной
скорости роста функции.
Зная градиент функции, можно локально строить линии уровня функции.
Теорема
.
Пусть задана дифференцируемая функция
z
=
f
(x
,
y
)
и в точке
градиент функции не равен нулю:
.
Тогда градиент перпендикулярен линии
уровня, проходящей через данную точку.
Таким образом, если, начиная с некоторой точки, строить в близких точках градиент функции и малую часть перпендикулярной ему линии уровня, то можно (с некоторой погрешностью) построить линии уровня.
Локальный экстремум функции двух переменных
Пусть функция
определена и непрерывна в некоторой
окрестности точки
.
Опр
.
Точка
называется точкой локального максимума
функции
,
если существует такая окрестность точки,
в которой для любой точки
выполняется неравенство:
.
Аналогично вводится понятие локального минимума.
Теорема (необходимое условие локального экстремума) .
Для того, чтобы
дифференцируемая функция
имела локальный экстремум в точке
,
необходимо, чтобы все ее частные
производные первого порядка в этой
точке были равны нулю:
Итак, точками
возможного наличия экстремума являются
те точки, в которых функция дифференцируема,
а ее градиент равен 0:
.
Как и в случае функции одной переменной,
такие точки называются стационарными.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть: z - переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D - область на координатной плоскости R2.
Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).
Другими словами:
Если каждой паре (х; у) двух независимых переменных из области D по некоторому правилу ставится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух независимых переменных х и у с областью определения D и пишут
http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">
П р и м е р 1.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">
Область определения – есть часть плоскости, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.
П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">
2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ
2.1.График функции двух переменных
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плоскости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геометрическое место полученных точек
http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">
Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением
x2 + y2 = R2, см. рисунок.
Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> и найти .
Решение. Воспользуемся методом сечений.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– в плоскости – парабола.
– в плоскости –парабола.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src=">– окружность.
Искомая поверхность – параболоид вращения.
Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число
http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.
Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется - ε - окрестностью точки А.
3адание
Найти и изобразить графически область определения функции:
Построить линии уровня функций:
3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.
О п р е д е л е н и е:
Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х -> х0, у -> у0, если для любого
ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) - А| < ε , как только
|x - x0| < δ и |у – у0| < δ.
Этот факт обозначается так:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.
П р и м е р 1. Найти .
Решение. Пусть стремление к предельной точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Тогда
http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> зависит от .
П р и м е р 2. Найти .
Решение. По любой прямой предел один и тот же:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Тогда
http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (остальное – по аналогии).
О п р е д е л е н и е. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,
где предельная точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> с областью определения и пусть – предельная точка множества , т. е точка, к которой стремятся аргументы х и у .
О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что функция непрерывна в точке, если:
1) ;
2) , т. е. .
Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24">непрерывна в точке, если выполняется равенство
http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> придадим произвольное приращение . Функция получит частное приращение по х
http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> является функцией одной переменной . Аналогично,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если
http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).
Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.
Обратное утверждение неверно.
П р и м е р. Докажем, что функция
непрерывна в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24"> в точке , соответствующее приращению http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, а это означает, что непрерывна в точке по переменной .
Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .
Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим
.
Таким образом, приближаясь к точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">
Другие обозначения
http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">
Другие обозначения
http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.
Решение . Имеем:
,
П р и м е р 2.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">
П р и м е р 3. Найти частные производные функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">
Пример 4. Найти частные производные функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">
5.2. Дифференциалы первого порядка функции двух переменных
Частные дифференциалы функции z = f(x, у) по переменным х и у определяются, соответственно по формулам х(x;y) и f"у{x;y) существуют в точке (х0;у0) и в некоторой ее окрестности и непрерывны в этой точке, то по аналогии с функцией одной переменной устанавливается формула для полного приращения функции двух переменных
http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">
где http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">
Другими словами, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке, (х, у), если ее приращение Δz эквивалентно функции:
Выражение
http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">
С учетом того, что Δх = dx, Δy=dy:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.
П р и м е р. Найдем частные производные функции http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.
Полученные формулы теряют смысл в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке .
Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.
5.4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.
Теорема 1. Необходимое условие дифференцируемости.
Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной и .
Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции.
Теорема 2. Достаточное условие дифференцируемости. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой http://pandia.ru/text/78/481/images/image130.gif" width="101 height=29" height="29">
Пример 2. Вычислить 3,021,97
3адание
Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
5.6. Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная.
Случай 1.
z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)
Функции u и v непрерывные функции от аргументов х, у.
Таким образом, функция z есть сложная функция от аргументов х и у: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))
Предположим, что функции f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.
Поставим задачу вычислить http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.
Дадим аргументу x приращение Δx, фиксируя значение аргумента y. Тогда функции двух переменных u= φ(x, y) и
v= φ(x, y) получат частные приращения Δxu и Δxv. Следовательно, z=f(u, v) получит полное приращение, определяемое в п.5.2 (дифференциалы первого порядка функции двух переменных):
http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">
Если xu→ 0, то Δxu → 0 и Δxv → 0 (в силу непрерывности функций u и v). Переходя к пределу при Δx→ 0, получим:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)
П р и м е р.
Z=ln(u2+v), u=ex+y ² , v=x2 + y;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.
Тогда по формуле (*) получим:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.
Для получения окончательного результата в две последние формулы вместо u и v необходимо подставить еx+y² и x2+y, соответственно.
Случай 2.
Функции х и у непрерывные функции.
Таким образом, функция z=f(x, у) зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не независимые переменные, но функции независимой переменной t, и определим производную http://pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">
Разделим обе части этого равенства на Δt:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)
Случай 3.
Предположим, теперь, что роль независимой переменной t играет переменная х, т. е. что функция z=f(x, у) зависит от независимой переменной х как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является непрерывной функцией от х.
Принимая во внимание, что http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)
Производная x(x, у)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.
Находим частные производные
http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">
Доказанное правило дифференцирования сложных функций применяется для нахождения производной, неявной функции.
Производная от функции, заданной неявно.
Положим, что уравнение
определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную
у’ = φ’(x)_
Подставляя у = φ (х) в уравнение F(x, y) = 0, мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как у = φ(х) есть решение этого уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно, так и через посредство у =φ(х).
Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (***), получим
F’x(x, y) + F’y(x, y)·y’ = 0,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">
Следовательно,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> справедливо как для одной, так и для другой функции.
5.7. Полный дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
Подставим выражения для http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> определенные равенствами (*) (см. случай 1 в п.5.6 «Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная») в формулу полного дифференциала
Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">
Тогда формула полного дифференциала первого порядка функции двух переменных имеет вид
http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">
Сравнивая последнее равенство с формулой для первого дифференциала функции двух независимых переменных, можем сказать, что выражение полного дифференциала первого порядка функции нескольких переменных имеет тот же вид, которое он имел бы, если бы u и v были бы независимыми переменными.
Иначе говоря, форма первого дифференциала инвариантна, то есть не зависит от того, являются ли переменные u и v независимыми переменными, или зависят от других переменных.
П р и м е р.
Найти полный дифференциал первого порядка сложной функции
z=u2v3, u=x2·sin y , v=x3·ey.
Р е ш е н и е. По формуле для полного дифференциала первого порядка имеем
dz = 2uv3·du+3u2v2·dv =
2uv3·(2x·siny ·dx+x2·cosy ·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).
Это выражение можно переписать так
dz=(2uv3·2x·siny+3u2v2·3x2·ey)·dx+(2uv3x2·cosy+3u2v2x3·ey)·dy=
Свойство инвариантности дифференциала позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Эта
функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей хну равна трем:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">
суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Действительно,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">
Полагая t=1, находим
http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">
Частные производные http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), вообще го-
воря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.
Вторые частные производные обозначают так:
есть производная n - го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом n - р раз по у.
Для функции любого числа переменных частные производите высших порядков определяются аналогично.
П р и м е р 1. Вычислить частные производные второго порядка от функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">
П р и м е р 2. Вычислить и http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">
П р и м е р 3. Вычислить , если
http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">
x, f"y, f"xy и f"yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке
http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">
Следовательно,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">
Решение.
Смешанные производные равны.
5.10. Дифференциалы высших порядков функции n переменных .
Полный дифференциал du функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Таким образом, мы получим дифференциал второго порядка d2u первоначальной функции и, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d3u первоначальной функции и т. д.
Рассмотрим подробнее случай функции u=f(x, у) двух переменных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению
http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">
Вычисляя точно так же d3u, мы получим
http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-
причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвести в степень n, применяя Формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> с направляющими косинусами cos α, cos β (α + β = 90°). На векторе рассмотрим точку М1(х + Δх; у + Δу). При переходе от точки М к точке М1 функция z = f(x; у) получит полное приращение
http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> стремящемся к нулю (см. рис.).
http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">
где http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, а потому получаем:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> при Δs->0 называется произ-
водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается
http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)
Таким образом, зная частные производные функции
z = f(x; у) можно найти производную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем производной по направлению.
П р и м е р. Найти производную функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">
Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.
5. 12 . Градиент
Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции
http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">
т. е..jpg" width="89" height="33 src=">
в точке М(3;4).
Р е ш е н и е.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">
До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция зависит от единственного аргумента . Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных , где – аргументы или независимые переменные . Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных .
Функцией двух переменных называется закон , по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).
Данную функцию обозначают следующим образом:
Либо , или же другой стандартной буквой:
Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости , то функцию также записывают через , где – точка плоскости с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.
Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.
С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:
Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения .
Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение .
Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть . Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой точки существует значение .
Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:
Как двух переменных?
Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!
Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:
Пример 1
Найти область определения функции
Решение
: так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:
Ответ : вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой
Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание и/или чертёж .
Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит в область определения.
Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.
Пример 2
Найти область определения функции
Решение
: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Ответ : полуплоскость
Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость . Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения.
Внимание! Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства – без него придётся очень туго!
Миниатюра для самостоятельного решения:
Пример 3
Найти область определения функции
Двухстрочное решение и ответ в конце урока.
Продолжаем разминаться:
Пример 4
И изобразить её на чертеже
Решение
: легко понять, что такая формулировка задачи требует
выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:
Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств .
Сначала чертим линию , которую задаёт соответствующее равенство . Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое , то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром .
Теперь берём произвольную
точку плоскости, не принадлежащую
окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :
Получено неверное неравенство
, таким образом, точка не удовлетворяет
неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:
Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг
с центром в начале координат, радиуса .
Ответ : внешняя часть круга
Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция представляет собой следующую поверхность
:
На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над
плоскостью (ближний и дальний от нас октанты)
, местами – под
плоскостью (левый и правый относительно нас октанты)
. Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения
. Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет»)
, о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.
Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.
Следующее задание для самостоятельного решения:
Пример 5
Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс , гиперболу или параболу .
Идём на повышение:
Пример 6
Найти область определения функции
Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным: и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .
С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства : чертим прямую и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое , то сама прямая также будет являться решением.
Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.
Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:
Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены
сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.
Ответ : область определения:
К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.
Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства . Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.
Пример 7
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.
Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:
Пример 8
Найти область определения функции
Решение : используя формулу разности квадратов , разложим подкоренное выражение на множители: .
Произведение двух множителей неотрицательно , когда оба множителя неотрицательны: ИЛИ когда оба неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств и ОБЪЕДИНИТЬ полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)
Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: . Получены верные неравенства, а значит, решением системы является весь верхний «уголок». Штрихуем.
Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: . Второе неравенство неверно, следовательно, и весь
правый «уголок» не является решением системы .
Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.
И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки нижнего «уголка»: . Оба неравенства верны, а значит, решением системы является и весь нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.
В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!
Ответ : область определения представляет собой объединение решений систем .
Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.
А это ваш орешек:
Пример 9
Найти область определения функции
Хороший студент всегда скучает по логарифмам:
Пример 10
Найти область определения функции
Решение : аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .
Неравенство указывает на правую полуплоскость и исключает ось .
Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду
. В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства запишется следующим образом:
, где – произвольное целое число.
Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом и его соседями:
Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:
мда …какой-то чертёж-призрак получился… доброе приведение высшей математики…
Ответ :
Следующий логарифм ваш:
Пример 11
Найти область определения функции
В ходе решения придётся построить параболу , которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства и предыдущих примерах этого урока.
Решение, чертёж и ответ в конце урока.
Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:
Пример 12
Найти область определения функции
Решение
: аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:
Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной
могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств
:
Система решается как обычно – строим прямые и находим нужные полуплоскости. В результате:
Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.
Ответ : область определения представляет собой решение системы
Пример 13
Найти область определения функции
В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.
На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция определена для любой точки пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу . Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид , «внутренность» параболического цилиндра и т.д. Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук) , и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.
Линии уровня
Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой : чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.
Функция в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня ? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .
Определение : линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .
Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:
Пример 14
Найти и построить несколько линий уровня графика функции
Решение : исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»:
Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна) . Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).
Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.
Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство :
Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку .
Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность плоскостью (подставляем в уравнение поверхности) :
Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса .
Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость , и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!
Теперь берём, например, плоскость и «разрезаем ей» исследуемую поверхность (подставляем в уравнение поверхности) :
Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса .
И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для :
– окружность с центром в точке радиуса 3 .
Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:
Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность
представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью «выходит прямо на вас» из экрана монитора, то есть вы смотрите в её дно =) И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)
Ответ : линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида
Примечание : при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)
Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты
. Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:
На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.