Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ СИГНАЛОВ

Цифровая обработка сигналов (ЦОС или DSP - digital signal processing) является одной из новейших и самых мощных технологий, которая активно внедряется в широкий круг областей науки и техники, таких как коммуникации, метеорология, радиолокация и гидролокация, медицинская визуализация изображений, цифровое аудио- и телевизионное вещание, разведка нефтяных и газовых месторождений и др. Можно сказать, что происходит повсеместное и глубокое проникновение технологий цифровой обработки сигналов во все сферы деятельности человечества. Сегодня технология ЦОС относится к числу базовых знаний, которые необходимы ученым и инженерам всех отраслей без исключения.

Сигналы

Что такое сигнал? В наиболее общей формулировке это зависимость одной величины от другой. Т.е., с математической точки зрения сигнал является функцией. Чаще всего рассматриваются зависимости от времени. Физическая природа сигнала может быть различной. Очень часто это электрическое напряжение, реже – ток.

Формы представления сигнала :

1. временная;

2. спектральная (в частотной области).

Стоимость цифровой обработки данных меньше аналоговой и продолжает снижаться, а производительность вычислительных операций непрерывно возрастает. Немаловажным является и то, что системы ЦОС отличаются высокой гибкостью. Их можно дополнять новыми программами и перепрограммировать на выполнение различных операций без изменения оборудования. Поэтому интерес к научным и к прикладным вопросам цифровой обработки сигналов возрастает во всех отраслях науки и техники.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ

Дискретные сигналы

Сущность цифровой обработки состоит в том, что физический сигнал (напряжение, ток и др.) преобразуется в последовательность чисел , которая затем подвергается математическим преобразованиям в ВУ.

Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

Исходный физический сигнал является непрерывной функцией времени. Такие сигналы, определенные во все моменты t, называются аналоговыми .

Какой сигнал называется цифровым? Рассмотрим некоторый аналоговый сигнал (рис. 1.1 а). Он задан непрерывно на всем рассматриваемом временном интервале. Считается, что аналоговый сигнал абсолютно точен, если не учитывать погрешности при измерении.

Рис. 1.1 а) Аналоговый сигнал

Рис. 1.1 б) Дискретизированный сигнал

Рис. 1.1 в) Квантованный сигнал

Для того, чтобы получить цифровой сигнал, нужно провести две операции – дискретизацию и квантование . Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией, а результат такого преобразования - дискретным сигналом .Т. обр., дискретизация заключается в составлении выборки из аналогового сигнала (рис. 1.1 б), каждый элемент которой, называемый отсчетом , будет отстоять по времени от соседних отсчетов на некотором интервале Т , называемом интервалом дискретизации или (поскольку интервал дискретизации чаще неизменен) – периодом дискретизации . Величина, обратная периоду дискретизации называется частотой дискретизации и определяется как:

(1.1)

При обработке сигнала в вычислительном устройстве его отсчеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием . Возникающие при этом ошибки округления называются ошибками или шумами квантования . Т. обр., квантование – это приведение уровней дискретизированного сигнала к некоторой сетке (рис. 1.1 в), чаще обычным округлением в сторону большего. Дискретный во времени и квантованный по уровню сигнал и будет являться цифровым.

Условия, при которых возможно полное восстановление аналогового сигнала по его цифровому эквиваленту с сохранением всей исходно содержавшейся в сигнале информации, выражаются теоремами Найквиста, Котельникова, Шеннона, сущность которых практически одинакова. Для дискретизации аналогового сигнала с полным сохранением информации в его цифровом эквиваленте максимальные частоты в аналоговом сигнале должны быть не менее, чем вдвое меньше, чем частота дискретизации, то есть f max £ (1/2)f d , т.е. на одном периоде максимальной частоты должно быть минимум два отсчета. Если это условие нарушается, в цифровом сигнале возникает эффект маскирования (подмены) действительных частот более низкими частотами. При этом в цифровом сигнале вместо фактической регистрируется "кажущаяся" частота, а, следовательно, восстановление фактической частоты в аналоговом сигнале становится невозможным. Восстановленный сигнал будет выглядеть так, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от частоты (1/2)f d в нижнюю часть спектра и наложились на частоты, уже присутствующие в этой части спектра. Этот эффект называется наложением спектров или алиасингом (aliasing). Наглядным примером алиасинга может служить иллюзия, довольно часто встречающаяся в кино – колесо автомобиля начинает вращаться против его движения, если между последовательными кадрами (аналог частоты дискретизации) колесо совершает более чем пол-оборота.

Преобразование сигнала в цифровую форму выполняется аналого-цифровыми преобразователями (АЦП). Как правило, они используют двоичную систему счисления с определенным числом разрядов в равномерной шкале. Увеличение числа разрядов повышает точность измерений и расширяет динамический диапазон измеряемых сигналов. Потерянная из-за недостатка разрядов АЦП информация невосстановима, и существуют лишь оценки возникающей погрешности «округления» отсчетов, например, через мощность шума, порождаемого ошибкой в последнем разряде АЦП. Для этого используется понятие отношения «сигнал/шум» - отношение мощности сигнала к мощности шума (в децибелах). Наиболее часто применяются 8-, 10-, 12-, 16-, 20- и 24-х разрядные АЦП. Каждый дополнительный разряд улучшает отношение сигнал/шум на 6 децибел. Однако увеличение количества разрядов снижает скорость дискретизации и увеличивает стоимость аппаратуры. Важным аспектом является также динамический диапазон, определяемый максимальным и минимальным значением сигнала.

Обработка цифровых сигналов выполняется либо специальными процессорами, либо на универсальных ЭВМ и компьютерах по специальным программам. Наиболее просты для рассмотрения линейные системы. Линейными называются системы, для которых имеет место принцип суперпозиции (отклик на сумму входных сигналов равен сумме откликов на каждый сигнал в отдельности) и однородность (изменение амплитуды входного сигнала вызывает пропорциональное изменение выходного сигнала).

Если входной сигнал x(t-t 0) порождает однозначный выходной сигнал y(t-t 0) при любом сдвиге t 0 , то систему называют инвариантной во времени . Ее свойства можно исследовать в любые произвольные моменты времени. Для описания линейной системы вводится специальный входной сигнал - единичный импульс (импульсная функция).

Единичный импульс (единичный отсчет) u 0 (n ) (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Единичный импульс

В силу свойства суперпозиции и однородности любой входной сигнал можно представить в виде суммы таких импульсов, подаваемых в разные моменты времени и умноженных на соответствующие коэффициенты. Выходной сигнал системы в этом случае представляет собой сумму откликов на эти импульсы. Отклик на единичный импульс (импульс с единичной амплитудой) называют импульсной характеристикой системы h(n). Знание импульсной характеристики позволяет проанализировать прохождение через дискретную систему любого сигнала. Действительно, произвольный сигнал {x(n)} можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов.

Дискретные сигналы естественно возникают в тех случаях, когда источник сообщений выдает информацию в фиксированные моменты времени. Примером могут служить сведения о температуре воздуха, передаваемые радиовещательными станциями несколько раз в сутки. Свойство дискретного сигнала проявляется здесь предельно ярко: в паузах между сообщениями никаких сведений о температуре нет. Фактически же температура воздуха изменяется во времени плавно, так что результаты измерения возникают за счет дискретизации непрерывного сигнала - операции, которая фиксирует отсчетные значения.

Дискретные сигналы приобрели особое значение в последние десятилетия под влиянием совершенствования техники связи и развития способов обработки информации быстродействующими вычислительными устройствами. Большие успехи достигнуты в разработке и использовании специализированных устройств для обработки дискретных сигналов, так называемых цифровых фильтров.

Настоящая глава посвящена рассмотрению принципов математического описания дискретных сигналов, а также теоретических основ построения линейных устройств для их обработки.

15.1. Модели дискретных сигналов

Различие между дискретными и аналоговыми (непрерывными) сигналами подчеркивалось в гл. 1 при классификации радиотехнических сигналов. Напомним основное свойство дискретного сигнала: его значения определены не во все моменты времени, а лишь в счетном множестве точек. Если аналоговый сигнал имеет математическую модель вида непрерывной или кусочно-непрерывной функции, то отвечающий ему дискретный сигнал представляет собой последовательность отсчетных значений сигнала в точках соответственно.

Дискретизирующая последовательность.

На практике, как правило, отсчеты дискретных сигналов берут во времени через равный промежуток А, называемый интервалом (шагом) дискретизации:

Операцию дискретизации, т. е. переход от аналогового сигнала к дискретному сигналу , можно описать, введя в рассмотрение обобщенную функцию

называемую дискретизирующей последовательностью.

Очевидно, дискретный сигнал представляет собой функционал (см. гл. 1), определенный на множестве всевозможных аналоговых сигналов и равный скалярному произведению функции

Формула (15.3) указывает путь практической реализации устройства для дискретизации аналогового сигнала. Работа дискретизатора основана на операции стробирования (см. гл. 12) - перемножения обрабатываемого сигнала и «гребенчатой» функции Поскольку длительность отдельных импульсов, из которых складывается дискретизирующая последовательность, равна нулю, на выходе идеального дискретизатора в равноотстоящие моменты времени возникают отсчетные значения обрабатываемого аналогового сигнала.

Рис. 15.1. Структурная схема импульсного модулятора

Модулированные импульсные последовательности.

Дискретные сигналы начали использовать еще в 40-х годах при создании радиотехнических систем с импульсной модуляцией. Этот вид модуляции отличается тем, что в качестве «несущего колебания» вместо гармонического сигнала служит периодическая последовательность коротких импульсов.

Импульсный модулятор (рис. 15.1) представляет собой устройство с двумя входами, на один из которых подается исходный аналоговый сигнал На другой вход поступают короткие синхронизирующие импульсы с интервалом повторения . Модулятор построен таким образом, что в момент подачн каждого синхронизирующего импульса происходит измерение мгновенного значения сигнала х(t). На выходе модулятора возникает последовательность импульсов, каждый из которых имеет площадь, пропорциональную соответствующему отсчетному значению аналогового сигнала.

Сигнал на выходе импульсного модулятора будем называть модулированной импульсной последовательностью (МИП). Естественно, что дискретный сигнал является математической моделью МИП.

Отметим, что с принципиальной точки зрения характер импульсов, из которых складывается МИП, безразличен. В частности, эти импульсы могут иметь одинаковую длительность, в то время как их амплитуда пропорциональна отсчетным значениям дискретизируемого сигнала. Такой вид преобразования непрерывного сигнала получил название амплитудно-импульсной модуляции (АИМ). Возможен другой способ - широтно-импульсная модуляция (ШИМ). Здесь амплитуды импульсов на выходе модулятора постоянны, а их длительность (ширина) пропорциональна мгновенным значениям аналогового колебания.

Выбор того или иного способа импульсной модуляции диктуется рядом технических соображений, удобством схемной реализации, а также характерными особенностями передаваемых сигналов. Например, нецелесообразно использовать АИМ в случае, если полезный сигнал изменяется в очень широких пределах, т. е., как часто говорят, имеет широкий динамический диапазон. Для неискаженной передачи такого сигнала требуется передатчик со строго линейной амплитудной характеристикой. Создание такого передатчика - самостоятельная, технически сложная проблема. Системы ШИМ не предъявляют требований к линейности амплитудных характеристик передающего устройства. Однако их схемная реализация может оказаться несколько сложнее по сравнению с системами АИМ.

Математическую модель идеальной МИП можно получить следующим образом. Рассмотрим формулу динамического представления сигнала (см. гл. 1):

Поскольку МИП определена лишь в точках интегрирование в формуле (15.4) следует заменить суммированием по индексу к. Роль дифференциала будет играть интервал (шаг) дискретизации . Тогда математическая модель модулированной импульсной последовательности, образованной бесконечно короткими импульсами, окажется заданной выражением

где - выборочные значения аналогового сигнала.

Спектральная плотность модулированной импульсной последовательности.

Исследуем спектр сигнала, возникающего на выходе идеального импульсного модулятора и описываемого выражением (15.5).

Заметим, что сигнал вида МИП с точностью до коэффициента пропорциональности А равен произведению функции и дискретизирующей последовательности

Известно, что спектр произведения двух сигналов пропорционален свертке их спектральных плотностей (см. гл. 2). Поэтому бели известны законы соответствия сигналов и спектров:

то спектральная плотность МИП-сигнала

Чтобы найти спектральную плотность дискретизирующей последовательности, разложим периодическую функцию в комплексный ряд Фурье:

Коэффициенты этого ряда

Обратившись к формуле (2.44), получаем

т. е. спектр дискретизирующей последовательности состоит из бесконечной совокупности дельта-импульсов в частотной области. Данная спектральная плотность является периодической функцией с периодом

Наконец, подставив формулу (15.8) в (15.7) и изменив порядок следования операций интегрирования и суммирования, находим

Итак, спектр сигнала, полученного в результате идеальной дискретизации бесконечно короткими стробирующими импульсами, представляет собой сумму бесконечного числа «копий» спектра исходного аналогового сигнала. Копии располагаются на оси частот через одинаковые интервалы равные значению угловой частоты первой гармоники дискретизирующей импульсной последовательности (рис. 15.2, а, б).

Рис. 15.2. Спектральная плотность модулированной импульсной последовательности при различных значениях верхней граничной частоты: а - верхняя граничная частота велика; б - верхняя граничная частота мала (цветом обозначена спектральная плотность исходного сигнала, подвергнутого дискретизации)

Восстановление непрерывного сигнала по модулированной импульсной последовательности.

В дальнейшем будем полагать, что вещественный сигнал имеет низкочастотный спектр, симметричный относительно точки и ограниченный верхней граничной частотой Из рис. 15.2, б следует, что если , то отдельные копии спектра не накладываются друг на друга.

Поэтому аналоговый сигнал с таким спектром, подвергнутый импульсной дискретизации, может быть совершенно точно восстановлен с помощью идеального ФНЧ, на вход которого подана импульсная последовательность вида (15.5). При этом наибольший допустимый интервал дискретизации , что согласуется с теоремой Котельникова.

Действительно, пусть фильтр, восстанавливающий непрерывный сигнал, имеет частотный коэффициент передачи

Импульсная характеристика этого фильтра описывается выражением

Принимая во внимание, что МИП-сигнал вида (15.5) есть взвешенная сумма дельта-импульсов, находим отклик на выходе восстанавливающего фильтра

Данный сигнал с точностью до масштабного коэффициента повторяет исходное колебание с ограниченным спектром.

Идеальный ФНЧ физически нереализуем и может служить лишь теоретической моделью для объяснения принципа восстановления сообщения по его дискретным импульсным отсчетам. Реальный фильтр нижних частот имеет АЧХ, которая либо охватывает несколько лепестков спектральной диаграммы МИП, либо, концентрируясь вблизи нулевой частоты, оказывается значительно уже центрального лепестка спектра. Для примера на рис. 15.3, б-е приведены кривые, характеризующие сигнал на выходе RC-цепи, используемой в качестве восстанавливающего фильтра (рис. 15.3, а).

Рис. 15.3. Восстановление непрерывного сигнала по его импульсным отсчетам с помощью RC-цепи: а - схема фильтра; б - дискретный входной сигнал; в, г - АЧХ фильтра и сигнал на его выходе в случае ; д, е - то же, для случая

Из приведенных графиков видно, что реальный восстанавливающий фильтр неизбежно искажает входное колебание.

Заметим, что для восстановления сигнала можно использовать как центральный, так и любой боковой лепесток спектральной диаграммы.

Определение спектра аналогового сигнала по совокупности отсчетов.

Располагая МИП-представлением, можно не только восстановить аналоговый сигнал, но и найти его спектральную плотность. Для этого следует прежде всего непосредственно связать спектральную плотность МИП с отсчетными значениями:

(15.13)

Данная формула исчерпывающе решает поставленную задачу при указанном выше ограничении.

Лекция № 1

«Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы.»

Двумя самыми фундаментальными понятиями в данном курсе являются понятия сигнала и системы.

Под сигналом понимается физический процесс (например, изменяющееся во времени напряжение), отображающий некоторую информацию или сообщение. Математически сигнал описывается функцией определенного типа.

Одномерные сигналы описываются вещественной или комплексной функцией , определенной на интервале вещественной оси (обычно – оси времени) . Примером одномерного сигнала может служить электрический ток в проводе микрофона, несущий информацию о воспринимаемом звуке.

Сигнал x (t ) называется ограниченным если существует положительное число A , такое, что для любого t .

Энергией сигнала x (t ) называется величина

,(1.1)

Если , то говорят, что сигнал x (t ) имеет ограниченную энергию. Сигналы с ограниченной энергией обладают свойством

Если сигнал имеет ограниченную энергию, то он ограничен.

Мощностью сигнала x (t ) называется величина

,(1.2)

Если , то говорят, что сигнал x (t ) имеет ограниченную мощность. Сигналы с ограниченной мощностьюмогут принимать ненулевые значения сколь угодно долго.

В реальной природе сигналов с неограниченной энергией и мощностью не существует. Большинство сигналов, существующих в реальной природе являются аналоговыми.

Аналоговые сигналы описываются непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией , причем сама функция и аргумент t могут принимать любые значения на некоторых интервалах . На рис. 1.1 а представлен пример аналогового сигнала, изменяющегося во времени по закону , где . Другой пример аналогового сигнала, показанный на рис 1.1б, изменяется во времени по закону .

Важным примером аналогового сигнала является сигнал, описываемый т.н. «единичной функцией» , которая описывается выражением

(1.3),

где.

График единичной функции представлен на рис.1.2.

Функцию 1(t ) можно рассматривать как предел семейства непрерывных функций 1(a , t ) при изменении параметра этого семейства a .

(1.4).

Семейство графиков 1(a , t ) при различных значениях a представлено на рис.1.3.

В этом случае функцию 1(t ) можно записать как

(1.5).

Обозначим производную от 1(a , t ) как d (a , t ).

(1.6).

Семейство графиков d (a , t ) представлено на рис.1.4.

Площадь под кривой d (a , t ) не зависит от a и всегда равна 1. Действительно

(1.7).

Функция

(1.8)

называется импульсной функцией Дирака или d - функцией. Значения d - функции равны нулю во всех точках, кроме t =0. При t =0 d -функция равна бесконечности, но так, что площадь под кривой d - функции равна 1. На рис.1.5 представлен график функции d (t ) и d (t - t ).

Отметим некоторые свойства d - функции:

1. (1.9).

Это следует из того, что только при t = t .

2. (1.10) .

В интеграле бесконечные пределы можно заменить конечными, но так, чтобы аргумент функции d (t - t ) обращался в нуль внутри этих пределов.

(1.11).

3. Преобразование Лапласа d -функции

(1.12).

В частности , при t =0

(1.13).

4. Преобразование Фурье d - функции. При p = j v из 1.13 получим

(1.14)

При t =0

(1.15),

т.е. спектр d - функции равен 1.

Аналоговый сигнал f (t ) называется периодическим если существует действительное число T , такое, что f (t + T )= f (t ) для любых t . При этом T называется периодом сигнала. Примером периодического сигнала может служить сигнал, представленный на рис.1.2а, причем T =1/ f . Другим примером периодического сигнала может служить последовательность d - функций, описываемая уравнением

(1.16)

график которой представлен на рис.1.6.

Дискретные сигналы отличаются от аналоговых тем, что их значения известны лишь в дискретные моменты времени.Дискретные сигналы описываются решетчатыми функциями – последовательностями – x д (nT ), где T = const – интервал (период) дискретизации, n =0,1,2,…. Сама функция x д (nT ) может в дискретные моменты принимать произвольные значения на некотором интервале. Эти значения функции называются выборками или отсчетами функции. Другим обозначением решетчатой функции x (nT ) является x (n ) или x n . На рис. 1.7а и 1.7б представлены примеры решетчатых функций и . Последовательность x (n ) может быть конечной или бесконечной, в зависимости от интервала определения функции.

Процесс преобразования аналогового сигнала в дискретный называется временная дискретизация. Математически процесс временной дискретизации можно описать как модуляцию входным аналоговым сигналом последовательности d - функций d T (t )

(1.17)

Процесс восстановления аналогового сигнала из дискретного называется временная экстраполяция.

Для дискретных последовательностей также вводятся понятия энергии и мощности. Энергией последовательности x (n ) называется величина

,(1.18)

Мощностью последовательности x (n ) называется величина

,(1.19)

Для дискретных последовательностей сохраняются те же закономерности, касающиеся ограничения мощности и энергии, что и для непрерывных сигналов.

Периодической называют последовательность x (nT ), удовлетворяющую условию x (nT )= x (nT + mNT ), где m и N – целые числа. При этом N называют периодом последовательности. Периодическую последовательность достаточно задать на интервале периода, например при .

Цифровые сигналы представляют собой дискретные сигналы, которые в дискретные моменты времени могут принимать лишь конечный ряд дискретных значений – уровней квантования. Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называется квантованием по уровню. Цифровые сигналы описываются квантованными решетчатыми функциями x ц (nT ). Примеры цифровых сигналов представлены на рис. 1.8а и 1.8б.

Связь между решетчатой функцией x д (nT ) и квантованной решетчатой функцией x ц (nT ) определяется нелинейной функцией квантования x ц (nT )= F k (x д (nT )). Каждый из уровней квантования кодируется числом. Обычно для эих целей используется двоичное кодирование, так, что квантованные отсчеты x ц (nT ) кодируются двоичными числами с n разрядами. Число уровней квантования N и наименьшее число двоичных разрядов m , с помощью которых можно закодировать все эти уровни, связаны соотношением

,(1.20)

где int (x ) – наименьшее целое число, не меньшее x .

Т.о., квантование дискретных сигналов состоит в представлении отсчета сигнала x д (nT ) с помощью двоичного числа, содержащего m разрядов. В результате квантования отсчет представляется с ошибкой, которая называется ошибкой квантования

.(1.21)

Шаг квантования Q определяется весом младшего двоичного разряда результирующего числа

.(1.22)

Основными способами квантования являются усечение и округление.

Усечение до m -разрядного двоичного числа состоит в отбрасывании всех младших разрядов числа кроме n старших. При этом ошибка усечения . Для положительных чисел прилюбом способе кодирования . Для отрицательных чисел при использовании прямого кода ошибка усечения неотрицательна , а при использовании дополнительного кода эта ошибка неположительна . Таким образом, во всех случаях абсолютнок значение ошибки усечения не превосходит шага квантования:

.(1.23)

График функции усечения дополнительного кода представлен на рис.1.9, а прямого кода – на рис.1.10.

Округление отличается от усечения тем, что кроме отбрасывания младших разрядов числа модифицируется и m -й (младший неотбрасываемый ) разряд числа. Его модификация заключается в том, что он либо остается неизменным или увеличивается на единицу в зависимости от того, больше или меньше отбрасываемая часть числа величины . Округление можно практически выполнить путем прибавления единицы к (m +1) – муразряду числа с последующим усечением полученного числа до n разрядов. Ошибка округления при всех способах кодирования лежит в пределах и, следовательно,

.(1.24)

График функции округления представлен на рис. 1.11.

Рассмотрение и использование различных сигналов предполагает возможность измерения значения этих сигналов в заданные моменты времени. Естественно возникает вопрос о достоверности (или наоборот, неопределенности) измерения значения сигналов. Этими вопросами занимается теория информации , основоположником которой является К.Шеннон. Основная идея теории информации состоит в том, что с информацией можно обращаться почти также, как с такими физическими величинами как масса и энергия.

Точность измерений мы обычно характеризуем числовыми значениями полученных при измерении или предполагаемых погрешностей. При этом используются понятия абсолютной и относительной погрешностей. Если измерительное устройство имеет диапазон измерения от x 1 до x 2 , с абсолютной погрешностью ± D , не зависящей от текущего значения x измеряемой величины, то получив результат измерения в виде x n мы записываем его как x n ± D и характеризуем относительной погрешностью .

Рассмотрение этих же самых действий с позиции теории информации носит несколько иной характер, отличающийся тем, что всем перечисленным понятиям придается вероятностный, статистический смысл, а итог проведенного измерения истолковывается как сокращение области неопределенности измеряемой величины. В теории информации тот факт, что измерительный прибор имеет диапазон измерения от x 1 до x 2 означает , что при использовании этого прибора могут бытьполучены показания только в пределах от x 1 до x 2 . Другими словами, вероятность получения отсчетов, меньших x 1 или больших x 2 , равна 0. Вероятность же получения отсчетв где-то в пределах от x 1 до x 2 равна 1.

Если предположить, что все результаты измерения в пределах от x 1 до x 2 равновероятны, т.е. плотность распределения вероятности для различных значений измеряемой величины вдоль всей шкалы прибора одинакова, то с точки зрения теории информации наше знание о значении измеряемой величины до измерения может быть представлено графиком распределения плотности вероятности p (x ).

Поскольку полная вероятность получить отсчет где-то в пределах от x 1 до x 2 равна 1, то под кривой должна быть заключена площадь, равная 1, а это значит, что

(1.25).

После проведения измерения получаем показание прибора, равное x n . Однако, вследствие погрешности прибора, равной ± D , мы не можем утверждать, что измеряемая величина точно равна x n . Поэтому мы записывает результат в виде x n ± D . Это означает, что действительное значение измеряемой величины x лежит где-то в пределах от x n - D до x n + D . С точки зрения теории информации результат нашего измерения состоит лишь в том, что область неопределенности сократилась до величины 2 D и характеризуется намного большей плотностью ве5роятности

(1.26).

Получение каой-либо информации об интересующей нас величине заключается, таким образом, в уменьшении неопределенности ее значения.

В качестве характеристики неопределенности значения некоторой случайной величины К.Шеннон ввел понятие энтропии величины x , которая вычисляется как

(1.27).

Единицы измерения энтропии зависят от выбора основания логарифма в приведенных выражениях. При использовании десятичных логарифмов энтропия измеряется в т.н. десятичных единицах или дитах . В случае же использования двоичных логарифмов энтропия выражается в двоичных единицах или битах .

В большинстве случаев неопределенность знания о значении сигнала определяется действием помех или шумов. Дезинформационное действие шума при передаче сигнала определяется энтропией шума как случайной величины. Если шум в вероятностном смысле не зависит от передаваемого сигнала, то независимо от статистики сигнала шуму можно приписывать определенную величину энтропии, которая и характеризует его дезинформационное действие. При этом анализ системы можно проводить раздельно для шума и сигнала, что резко упрощает решение этой задачи.

Теорема Шеннона о количестве информации . Если на вход канала передачи информации подается сигнал с энтропией H ( x ), а шум в канале имеет энтропию H( D ) , то количество информации на выходе канала определяется как

(1.28).

Если кроме основного канала передачи сигнала имеется дополнительный канал, то для исправления ошибок, возникших от шума с энтропией H (D ), по этому каналу необходтмо передать дополнительное количество информации, не меньшее чем

(1.29).

Эти данные можно так закодировать, что будет возможно скорректировать все ошибки, вызванные шумом, за исключением произвольно малой доли этих ошибок.

В нашем случае, для равномерно распределенной случайной величины, энтропия определяется как

(1.30),

а оставшаяся или условная энтропия результата измерения после получения отсчета x n равна

(1.31).

Отсюда полученное количество информации равное разности исходной и оставшейся энтропии равно

(1.32).

При анализе систем с цифровыми сигналами ошибки квантования рассматриваются как стационарный случайный процесс с равномерным распределением вероятности по диапазону распределения ошибки квантования. На рис. 1.12а, б и в приведены плотности вероятности ошибки квантования при округлении дополнительного кода, прямого кода и усечении соответственно.

Очевидно, что квантование является нелинейной операцией. Однако, при анализе используется линейная модель квантования сигналов, представленная на рис. 1.13.

		m – разрядный цифровой сигнал, e (nT ) – ошибка квантования. Вероятностные оценки ошибок квантования делаются с помощью вычисления математического ожидания (1.33) и дисперсии (1.34), где p e – плотность вероятности ошибки. Для случаев округления и усечения будем иметь (1.35), (1.36). Временная дискретизация и квантование по уровню сигналов являются неотъемлемыми особенностями всех микропроцессорных систем управления, определяемыми ограниченным быстродействием и конечной разрядностью используемых микропроцессоров.

Чем измерительный сигнал отличается от сигнала? Приведите примеры измерительных сигналов, используемых в различных разделах науки и техники

Измерительный сигнал - это материальный носитель информации, содержащий количественную информацию об измеряемой физической величине и представляющий собой некоторый физический процесс, один из параметров которого функционально связан с измеряемой физической величиной. Такой параметр называют информативным. А сигнал несет количественную информацию только об информативном параметре, а не об измеряемой физической величине.

Примерами измерительных сигналов могут быть

Выходные сигналы различных генераторов (магнитогидродинамического, лазеров, мазеров и др.), трансформаторов (дифференциального, тока, напряжения)

Различные электромагнитные волны (радиоволны, оптическое излучение и др.)

Перечислите признаки, по которым классифицируются измерительные сигналы

По характеру измерения информативного и временного параметров измерительные сигналы делятся на аналоговые, дискретные и цифровые. По характеру изменения во времени сигналы делятся на постоянные и переменные. По степени наличия априорной информации переменные измерительные сигналы делятся на детерминированные, квазидетерминированные и случайные.

Чем аналоговый, дискретный и цифровой сигналы отличаются друг от друга?

Аналоговый сигнал - это сигнал, описываемый непрерывной или кусочно-непрерывной функцией Y a (t), причем как сама эта функция, так и ее аргумент t могут принимать любые значения на заданных интервалах (Y min ; Y max) и (t min ; t max).

Дискретный сигнал - это сигнал, изменяющийся дискретно во времени или по уровню. В первом случае он может принимать в дискретные моменты времени nТ, где Т = const - интервал (период) дискретизации, n = 0; 1; 2; ... - целое, любые значения в интервале (Y min ; Y max)называемые выборками, или отсчетами. Такие сигналы описываются решетчатыми функциями. Во втором случае значения сигнала Yд(t) существуют в любой момент времени t в интервале (t min ; t max) однако они могут принимать ограниченный ряд значений h j = nq, кратных кванту q.

Цифровые сигналы - квантованные по уровню и дискретные по времени сигналы Y ц (nТ), которые описываются квантованными решетчатыми функциями (квантованными последовательностями), принимающими в дискретные моменты времени nТ лишь конечный ряд дискретных значений - уровней квантования h 1 h 2 , ... , h n .

Расскажите о характеристиках и параметрах случайных сигналов

Случайный сигнал - это изменяющаяся во времени физическая величина, мгновенное значение которой является случайной величиной.

Семейство реализаций случайного процесса является основным экспериментальным материалом, на основе которого можно получить его характеристики и параметры.

Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t o представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t o . Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.

Наиболее полно случайные процессы описываются законами распределения: одномерным, двумерным и Т.д. Однако оперировать с такими, в общем случае многомерными функциями очень сложно, поэтому в инженерных приложениях, каковым является метрология, стараются обойтись характеристиками и параметрами этих законов, которые описывают случайные процессы не полностью, а частично. Характеристики случайных процессов, в отличие от характеристик случайных величин, которые подробно рассмотрены в гл. 6, являются не числами, а функциями. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция

mx(t) = M = хр(х, t)dx,

которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения. Здесь р(х, t) - одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t). Таким образом, математическое ожидание в данном случае является средней функцией, вокруг которой группируются конкретные реализации.

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция

Dx(t) = D = 2 p(x, t)dx,

значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно mx(t).

Математическое ожидание случайного процесса и его дисперсия являются весьма важными, но не исчерпывающими характеристиками, так как определяются только одномерным законом распределения. Они не могут характеризовать взаимосвязь между различными сечениями случайного процесса при различных значениях времени t и t". Для этого используется корреляционная функция - неслучайная функция R(t, t") двух аргументов t и t", которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени ф = t"-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.

На практике часто используется нормированная корреляционная функция

Она обладает следующими свойствами: 1) при равенстве аргументов t и t" r(t, t") = 1; 2) симметрична относительно своих аргументов: r(t,t") = r(t",t); 3) ее возможные значения лежат в диапазоне [-1;1], т.е. |r(t,t")| ? 1. Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична коэффициенту корреляции между случайными величинами, но зависит от двух аргументов и не является постоянной величиной.

Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными. :Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями.

* Математическое ожидание стационарного процесса постоянно, Т.е. m х (t) = m х = const. Однако это требование не является существенным, поскольку от случайной функции X(t) всегда можно перейти к центрированной функции, для которой математическое ожидание равно нулю. Отсюда вытекает, что если случайный процесс нестационарен только за счет переменного во времени (по сечениям) математического ожидания, то операцией центрирования его всегда можно свести к стационарному.

* Для стационарного случайного процесса дисперсия по сечениям является постоянной величиной, Т.е. Dx(t) = Dx = const.

* :Корреляционная функция стационарного процесса зависит не от значения аргументов t и t", а только от промежутка ф = t"-t, т.е. R(t,t") = R(ф). Предыдущее условие является частным случаем данного условия, Т.е. Dx(t) = R(t, t) = R(ф = О) = const. Таким образом, зависимость автокорреляционной функции только от интервала "t является единственным существенным условием стационарности случайного процесса.

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(щ), которая описывает частотный состав случайного процесса при щ?0 и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:

Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты S(щ)?0. Площадь, заключенная под кривой S(щ), пропорциональна дисперсии процесса. Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность

R(ф) = S(щ)cosщфdщ.

Стационарные случайные процессы могут обладать или не обладать свойством эргодичности. Стационарный случайный процесс называется эргодическим если любая его реализация достаточной продолжительности является как бы "полномочным представителем" всей совокупности реализаций процесса. В таких процессах любая реализация рано или поздно пройдет через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени.

Для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:

* применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

* большинство используемых в метрологии форму л теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, Т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.

С учетом этих ограничений процесс появления случайных погрешностей результатов измерений за вычетом систематических и прогрессирующих погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс. Его описание возможно на основе теории статистически независимых случайных величин и стационарных случайных процессов.

При выполнении измерений требуется количественно оценить погрешность. Для такой оценки необходимо знать определенные характеристики и параметры модели погрешности. Их номенклатура зависит от вида модели и требований к оцениваемой погрешности. В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа - задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик - погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик - статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.

В качестве характеристик случайной погрешности используют СКО случайной составляющей погрешности измерений и, если необходимо, ее нормализованную автокорреляционную функцию.

Систематическая составляющая погрешности измерений характеризуется:

* СКО неисключенной систематической составляющей погрешности измерений;

* границами, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью (в частности, и с вероятностью, равной единице).

Требования к характеристикам погрешности и рекомендации по их выбору приведены в нормативном документе МИ 1317-86 "ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров".

С дискретностью каждый из нас сталкивается ежедневно. Это одно из свойств, присущее материи. В дословном переводе с латинского языка слово discretus означает прерывистость. Например, дискретный сигнал - это способ передачи информации, когда среда-переносчик изменяется во времени, принимая любое из существующего списка допустимых значений.

Конечно, термин «дискретность» применяется в более широком смысле. В частности, сейчас прогресс в микроэлектронике направлен на создание и развитие технологии SOC - «Система на чипе». Предполагается, что все составляющие устройство компоненты между собой тесно интегрированы на единой подложке. Противоположность такого подхода - дискретные схемы, когда элементы сами являются завершенными изделиями, соединяясь линиями связи.

Пожалуй, сейчас невозможно найти человека, который бы не пользовался мобильным телефоном или программой Скайп на компьютере. Одна из их задач - это передача звукового потока (в частности, голоса). Но так как такой звук представляет собой непрерывную волну, для его непосредственной передачи потребовался бы канал с высокой пропускной способностью. Для решения этого вопроса было предложено использовать дискретный сигнал. Формирует он не волну, а ее цифровое представление (помните, речь идет о мобильных телефонах и компьютерах). С волны через определенные промежутки времени выполняются выборки значений данных. То есть, создается дискретный сигнал. Его преимущество очевидно: меньший суммарный и возможность организации пакетной передачи. Целевое приемное устройство объединяет все выборки в единый блок, генерируя исходную волну. Чем больше промежутки между выборками, тем выше вероятность искажения исходной волны. Дискретизация широко используется в вычислительной технике.

Говоря о том, что такое дискретный сигнал, нельзя не воспользоваться замечательной аналогией с обычной печатной книгой. Человек, читая ее, получает непрерывный поток информации. В то же время, содержащиеся в ней данные «закодированы» в виде определенных последовательностей букв - слов - предложений. Получается, что автор из неделимой мысли формирует своеобразный дискретный сигнал, так как выражает ее разбиением на блоки, используя тот или иной способ кодировки (алфавит, язык). Читатель в данном примере получает возможность воспринимать идею автора только после мысленного объединения слов в поток информации.

Наверняка, вы читаете эту статью с экрана компьютера. А ведь даже экран монитора может служить примером, где проявляется дискретность и непрерывность. Вспомним старые модели, основанные на ЭЛТ. В них изображение формировалось последовательностью кадров, которые необходимо было «отрисовывать» несколько десятков раз в секунду. Очевидно, что данное устройство использует дискретный способ построения картинки.

Дискретный сигнал является полной противоположностью непрерывному. Последний представляет собой функцию интенсивности от времени (если представить его на декартовой плоскости). Как уже указывалось, одним из примеров может служить Она характеризуется частотой и амплитудой, однако естественным образом нигде не прерывается. Большинство природных процессов описываются именно таким способом. Несмотря на то, что, все-таки, существует несколько способов обработки непрерывного (или аналогового) сигнала, позволяющих уменьшить поток данных, в современных цифровых системах распространен именно дискретный. Отчасти благодаря тому, что его можно достаточно просто преобразовать в исходный, независимо от конфигурации последнего. Кстати, стоит отметить, что термины «дискретный» и «цифровой» практически равнозначны.