Что такое графический метод. Решение задач линейного программирования

Наиболее простым и наглядным методом решения задачи линейного программирования (ЗЛП) является графический метод. Он основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется при решении ЗЛП с двумя неизвестными:

Будем рассматривать решение этой задачи на плоскости. Каждое неравенство системы функциональных ограничений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а п х, + + a j2 х 2 = b n i = 1, т. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми х { = 0, х 2 = 0 соответственно. Если система совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек; координаты каждой из этих точек являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограниченным многоугольником.

Геометрически ЗЛП представляет собой отыскание такой угловой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости.

Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х { + Зх 2 12.

Во-первых, построим прямую 2х, + Зх 2 = 12. Она проходит через точки (6; 0) и (0; 4). Во-вторых, определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х { = х 2 = 0 в неравенство 2х, + Зх 2 12. Получим 2 0 + 3 0

Аналогично графически можно изобразить все ограничения задачи линейного программирования.

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений (ОДР) или областью определения.

Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (Xj > 0, j = 1, п). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая c [ x l + с 2 х 2 = f(x 0), перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции (рис. 2.2.2). В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Рис. 2.2.2.

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в д р у г у ю сторону - только убывает.

Графический метод решения ЗЛП состоит из четырех этапов:

• 1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
• 2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке х 0 (0; 0): V = (с, с 2).
• 3. Линия уровня CjXj + с 2 х 2 = а (а - постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору-градиенту V, - передвигается в направлении вектора-градиента в случае максимизации целевой функции f(x v х 2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации /(*, х 2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) f(x p jc 2).

Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимума (максимума) функции f(x р х 2) не существует.

Если линия уровня целевой функции параллельна функциональному ограничению задачи, на котором достигается оптимальное значение ЦФ, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.

4. Определяются координаты точки максимума (минимума). Для этого достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума (минимума). Значение f(x { , х 2), найденное в полученной точке, является максимальным (минимальным) значением целевой функции.

Возможные ситуации графического решения ЗЛП представлены в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1

Вид ОДР	Вид оптимального решения
Ограниченная	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
Неограниченная	ЦФ не ограничена снизу
	ЦФ не ограничена сверху
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений

Пример 2.2.1. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия (задача о костюмах).

Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат; на мужской - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человекодней трудозатрат.

Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 ден. ед., а от мужского - 20 ден. ед. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Экономико-математическая модель задачи

Переменные : х, - число женских костюмов; х 2 - число мужских костюмов.

Целевая функция :

Ограничения :

Первое ограничение (по шерсти) имеет вид х { + 3,5х 2 х { + 3,5х 2 = 350 проходит через точки (350; 0) и (0; 100). Второе ограничение (по лавсану) имеет вид 2х { + 0,5х 2 2х х + 0,5х 2 = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480). Третье ограничение (по труду) имеет вид х у +х 2 150. Прямая х { + х 2 = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150). Четвертое ограничение (по количеству мужских костюмов) имеет вид х 2 > 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х 2 = 60.

В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений нашей задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

На рис. 2.2.3 затенена область допустимых решений (ОДР). Для определения направления движения к оптимуму построим вектор- градиент V, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10; 20) с началом координат. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору V. Так, на рис. 2.2.3 изображен вектор (30; 60).

Затем построим линию уровня 10xj + 20х 2 = а. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а , получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Задача. Решить графически задачу линейного программирования, определив экстремальное значение целевой функции:

при ограничениях

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 3x 1 +x 2 = 9 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 9. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 3. Соединяем точку (0;9) с (3;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 3 . 0 + 1 . 0 - 9 ≤ 0, т.е. 3x 1 +x 2 - 9≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x 1 +2x 2 = 8 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 8. Соединяем точку (0;4) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 . 0 + 2 . 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +2x 2 - 8≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x 1 +x 2 = 8 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 8. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 8. Соединяем точку (0;8) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 . 0 + 1 . 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +x 2 - 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Проверить правильность построения графиков функций можно с помощью калькулятора

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x 1 +6x 2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x 1 +6x 2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (4; 6). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = 4x 1 +6x 2 пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
3x 1 +x 2 =9
x 1 +2x 2 =8

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 2, x 2 = 3
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 4*2 + 6*3 = 26

В линейном программировании используется графический метод, с помощью которого определяют выпуклые множества (многогранник решений). Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то целевая функция принимает значение в одной из вершин многогранника решений (см. рисунок).

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса можно в онлайн режиме решить задачу линейного программирования геометрическим методом, а также получить решение двойственной задачи (оценить оптимальность использования ресурсов). Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите количество строк (количество ограничений).

Количество ограничений 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Если количество переменных больше двух, необходимо систему привести к СЗЛП (см. пример и пример №2). Если ограничение двойное, например, 1 ≤ x 1 ≤ 4 , то оно разбивается на два: x 1 ≥ 1 , x 1 ≤ 4 (т.е. количество строк увеличивается на 1).
Построить область допустимого решения (ОДР) можно также с помощью этого сервиса .

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Симплексный метод решения ЗЛП

Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Вычисление пределов

Решение задачи линейного программирования графическим методом включает следующие этапы :

1. На плоскости X 1 0X 2 строят прямые.
2. Определяются полуплоскости.
3. Определяют многоугольник решений;
4. Строят вектор N(c 1 ,c 2), который указывает направление целевой функции;
5. Передвигают прямую целевую функцию c 1 x 2 + c 2 x 2 = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений.
6. Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

При этом могут возникать следующие ситуации:

Пример . Компания изготавливает два вида продукции - П1 и П2. Для производства продукции используются два вида сырья - С1 и С2. Оптовые цены единицы продукции равна: 5 д.е. для П1 и 4 д.е. для П2. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в таблице.
Таблица - Расход сырья на производство продукции

Установлены ограничения на спрос продукции: ежедневный объем производства продукции П2 не должен превышать ежедневный объем производства продукции П1 не более чем на 1 тонну; максимальный ежедневный объем производства П2 не должен превышать 2 т.
Требуется определить:
Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

1. Сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.
2. Решить задачу линейного программирования графическим способом (для двух переменных).

Решение.
Сформулируем математическую модель задачи линейного программирования.
x 1 - производство продукции П1, ед.
x 2 - производство продукции П2, ед.
x 1 , x 2 ≥ 0

Ограничения по ресурсам
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6

Ограничения по спросу
x 1 +1 ≥ x 2
x 2 ≤ 2

Целевая функция
5x 1 + 4x 2 → max

Тогда получаем следующую ЗЛП:
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x 2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x 1 + 4x 2 → max

f = –х 1 + 5х 2 ¾> min ;

4х 1+ 3х 2 £ 24,

х 1– 10х 2 £ 0,

8х 1– 3х 2 ³ 0,

5х 1+ 3х 2 ³ 15,

х 1³0, х 2³ 0. (1)

Совокупность переменных хj , удовлетворяющих условию (1), называется областью допустимых решений. Допустимое решение, обращающее целевую функцию в min или max , называется оптимальным. Для его определения необходимо построить область допустимых решений (область определения). Так как в условии задачи заданы две переменные, то область допустимых решений находится на плоскости х 10х 2. Каждое неравенство (1) определяет полуплоскость, а равенство – прямую. Для построения полуплоскости необходимо найти ее границу и установить, с какой стороны от нее лежит искомая полуплоскость. Перепишем условия (1) в виде равенств (2) и пронумеруем их.

4х 1+ 3х 2	=	24 (I ),
х 1– 10х 2	=	0 (II ),
8х 1– 3х 2	=	0 (III ),
5х 1+ 3х 2	=	15 (IV ).	(2)

Введем систему координат х 10х 2 и построим последовательно эти прямые – границы полуплоскостей. Для построения прямой на плоскости необходимо определить любые две точки, лежащие на этой прямой. Если прямая пересекает оси 0х 1и 0х 2, то можно найти координаты точек ее пересечения с осями координат. Определим координаты пересечения прямой (I ) с осью 0х 1: х 1=0; Þ 3х 2= 24; Þ х 2= 8. Соответственно определим координаты второй точки пересечения первой прямой с осью 0х 2: х 2=0; Þ 4х 1= 24; Þ х 1= 6. Следовательно, точки пересечения прямой (I ) с осями координат равны (0,8) и (6,0). Построим эту прямую (рис. 1).

Определим полуплоскость. Для этого подставим в первое неравенство (1) координаты любой точки, не лежащей на данной прямой, например (0,0). Тогда из первого условия следует: 4×0+3×0 £24, значит, неравенство справедливо, откуда следует, что полуплоскость лежит с той стороны прямой, где находится точка с координатами (0,0).

Аналогичным образом строятся и другие полуплоскости. Необходимо учесть, что прямые (II) и (III) проходят через начало координат, т.е. точку (0,0). Координаты второй точки желательно брать пропорционально коэффициентам в уравнении искомой прямой. Например, для второй прямой – точки (0,0) и (10,1), а для третьей – (0,0) и (3,8). После построения всех полуплоскостей область допустимых решений примет следующий вид (рис. 3):

Целевая функция f определяет на плоскости прямую, которая должна проходить через точку или сторону многоугольника и иметь наименьшее значение. Построим направляющий вектор для этой прямой. Данный вектор перпендикулярен искомой прямой, и его направление всегда определяет максимум целевой функции. Противоположное направление вектора определяет минимум. Обозначим этот вектор через . Он проходит через точку (0,0) и (–1,5). Координаты второй точки берут из коэффициентов целевой функции и с их помощью определяют направление вектора. Перпендикулярно ему построим прямую –х 1+ 5х 2=0. Как было сказано выше, вектор всегда показывает направление возрастания значения целевой функции (max ) , противоположный ему вектор –– направление убывания значения целевой функции (min ). Перемещаем прямую –х 1+5х 2=0 по области определения параллельно самой себе в направлении min . Целевая функция f достигнет своего минимального значения в точке С (рис. 4).

Оптимальному решению задачи (1) соответствует точка С , которая лежит на пересечении прямых (I ) и (II ):

4х 1+ 3х 2= 24;

х 1– 10х 2= 0.

Для решения данной системы уравнений умножить второе уравнение на 4 и сложить соответственно по элементам с 1-м уравнением:

4х 1+ 3х 2 = 24;

4х 1– 40х 2 = 0.

Вычтем из первого уравнения второе, получим: 43х2= 24 Þ х 2= 0,56.

Подставив найденное значение х 2во второе уравнение, получим:

х 1= 10х 2Þ х 1=5,6. Подставив координаты точки С в целевую функцию, получим следующий результат:

f min = – 5,6 + 5×0,56 = – 2,8.

Окончательный результат задачи запишем в следующем виде:

х 1= 5,6, х 2= 0,56;f min = – 2,8.

Решение данного примера на ПЭВМ осуществляется программным комплексом «Блок-3». С его помощью производятся ввод, решение и вывод результативной информации на внешний носитель. Простота и доступность комплекса позволит без труда освоить его и применять на практике.

Задача № 1.1.2.

f = 2х 1+ 3х 2 ¾> max;

2х 1+ 3х 2 £ 12,

2х 1– 5х 2 £ 0,

7х 1– 2х2³ 0,

х 1, х 2³ 0. (3)

Определения и построение области допустимых решений аналогичны заданию 1.1.1. Окончательный вид области допустимых решений представлен на рис. 5 многоугольником АВС (точка А совпадает с точкой 0).

Очевидно, что прямая, определяющая целевую функцию, совпадает с прямой, образующей сторону многоугольника ВС . Отсюда следует, что решением данной ЭММ являются точки, лежащие на стороне ВС много-

угольника АВС . Для записи решения ЭММ необходимо найти координату x 1B – точки В и x 1C – точки С . Определив их, мы сможем найти отрезок, лежащий на оси 0x 1(рис. 6).

Координаты точки В – x1B определяются в результате пересечения прямых 2х 1+ 3х 2 = 12 и 7х 1– 2х 2 = 0. Для этого необходимо решить систему уравнений:

2х 1+ 3х 2= 12 ´ 2 Þ 4х 1+ 6х 2= 24;

7х 1– 2х 2= 0 ´ 3 Þ 21х 1– 6х2= 0.

Сложив два последних уравнения, получим: 25х 1=24, х 1=0,96. Из этого следует, что x 1B =0,96. Координата точки С – x 1C определяется в результате пересечения прямых 2х 1+ 3х 2=12 и 2х 1–5х 2=0. Решим систему уравнений:

2х 1+ 3х 2= 12 ´ 5 Þ 10х 1+ 15х 2= 60;

2х 1– 5х 2= 0 ´ 3 Þ 6х 1 – 15х 2= 0.

Сложив два последних уравнения, получим: 16х 1= 60, х 1= 3,75, откуда следует, что x 1C = 3,75.

Значение целевой функции для данной ЭММ равно 12 (так как уравнение прямой, на которой определен отрезок ВС – 2х 1+3х 2= 12).

Таким образом, ответ данной задачи:

x 1Î[x 1B ; x 1C ] Þ x 1Î;

2х 1+ 3х 2=12 Þ 3х 2= 12 – 2х 1Þ х 2= (12 – 2х 1)/3.

Полный ответ данного примера запишется в следующем виде:

x 1Î; x 2= (12 – 2х 1)/3; f max = 12.

Задача № 1.1.3.

f = 2х 1+ 3х 2 ¾> max;

2х 1+ 3х 2 ³ 12,

2х 1– 5х 2 £ 0,

7х 1– 2х 2³ 0,

х 1, х 2 ³0. (4)

Используя схему построения области допустимых решений задач 1.1.1–1.1.2, получим следующий график (рис. 7):

f = 2х 1+ 3х 2 ¾> max ;

х 1+ х2 £ 2,

2х 1+ 3х 2³ 12,

2х 1– 5х 2£ 0,

7х 1– 2х 2³ 0,

х 1, х 2³ 0. (5)

Используя график задачи 1.1.3 и достроив первую полуплоскость х 1+х2£ 2, получим область определения, показанную на рис. 8.

Из графика (рис. 8) видно, что для данной ЭММ области допустимых решений нет. Ответ: нет области допустимых решений.

Задача № 1.1.5.

f = – х 1+ 5х 2 ¾> min;

10х 1+ 3х 2£ 30,

10х 1+ 5х 2³ 50,

2х 1– 6х 2£ 0,

х 1, х 2³ 0. (6)

Область определения ЭММ (6) представлена на рис. 9. Из анализа графика следует, что областью допустимых решений будет являться точка А с координатами (0,10) (10х 1+ 5х 2= 50, х 1= 0, 5х 2= 50, х 2=10). В случае, когда решением ЭММ является единственная точка, целевую функцию можно не строить.

Ответ: x 1= 0; x 2=10; fmin = 0+5×10 = 50.

Таким образом, при решении задач ЭММ ЛП возможны следующие ситуации:

– задача имеет одно оптимальное решение;

– задача имеет бесконечное число оптимальных решений;

– задача не имеет оптимального решения;

– задача не имеет области допустимых решений.

На практике ЭММ ЛП не имеет решений только в том случае, если некорректна постановка задачи.

Как показывает опыт разработки ЭММ, основная сложность состоит в описании экономико-технологических процессов в модели и выборе критерия оптимизации. Отсюда следует, что необходимо точно определить нормативные параметры. Это в свою очередь требует поставленного учета и анализа на исследуемом объекте. В то же время особое значение в составлении модели приобретает уровень подготовки специалиста. От его умения выявить основные звенья технологического процесса, определить этапы решения задачи и сформулировать цели исследования будет зависеть и качество решения данной проблемы.

Задача № 1.1.6.

Предприятие может организовать производство своей продукции двумя способами. При первом способе предприятие за месяц выпускает C 1 тыс. изделий, при втором – C 2 тыс. изделий. Расход производственных, людских ресурсов, амортизация оборудования и ограничения ресурсов, приведены ниже в таблице.

Сколько месяцев должно работать предприятие, каким способом организовать производство, чтобы обеспечить максимальный выпуск продукции.

1) Решить графическим способом;

2) Решить на базе комплекса «Блок-3»;

3) Симплекс-методом.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда в ЗЛП включены ровно две переменные:

Каждое из неравенств (a)-(b) системы ограничений задачи (3.8) геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми , Х 1 =0 и Х 2 =0. Каждая из граничных прямых делит плоскость х 1 Ох 2 на две полуплоскости. Все решения исходного неравенства лежат в одной из образованных полуплоскостей (все точки полуплоскости) и, следовательно, при подстановке координат любой ее точки в соответствующее неравенство обращает его в верное тождество. С учетом этого и определяется та полуплоскость, в которой лежат решения неравенства, т.е. путем выбора любой точки из какой-либо полуплоскости и подстановки ее координат в соответствующее неравенство. Если неравенство выполняется для данной точки, то оно выполняется и для любой другой точки из этой же полуплоскости. В противном случае решения неравенства лежат в другой полуплоскости.

В том случае, если система неравенств (a)-(b) совместна, то область её решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей выпуклое, то область допустимых решений задачи (3.8) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений (введённый ранее термин “многогранник решений” обычно употребляется, если n 3). Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.

Таким образом, исходная ЗЛП состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное (минимальное) значение.

Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нём целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины строят линию уровня L: c 1 x 1 +c 2 x 2 =h (где h – некоторая постоянная), перпендикулярную вектору-градиенту и проходящую через многоугольник решений, и передвигают её параллельно вдоль вектора-градиента до тех пор, пока она не пройдёт через последнюю её общую точку пересечения с многоугольником решений (при построении вектора-градиента откладывают точку (с 1 ; с 2) в плоскости х 1 Ох 2 и проводят к ней из начала координат направленный отрезок). Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

Суммируя все выше изложенное, приведем алгоритм графического метода решения ЗЛП.

Алгоритм графического метода решения ЗЛП

1. Построить многоугольник решений, задаваемый системой ограничений исходной ЗЛП.

2. Если построенный многоугольник решений – пустое множество, то исходная ЗЛП решений не имеет. В противном случае построить вектор-градиент и провести произвольную линию уровня L, перемещая которую при решении задачи на максимум в направлении вектора (или в обратном направлении для задачи на минимум) определить крайнюю точку многоугольника решений, где и достигается максимум (минимум) целевой функции задачи.

3. Вычислить координаты найденной оптимальной точки , решив систему уравнений двух граничных прямых, пересекающихся в ней.

4. Подстановкой найденного оптимального решения в целевую функцию задачи вычислить оптимальное ее значение, т.е.: .

При графическом построении множества допустимых решений ЗЛП (многоугольника решений) возможны следующие ситуации.